Questão 62. Hugo deve ter aula de tênis duas vezes por semana, durante um ano. Quantos são os modos de escolher os dias de aula, se Hugo não deseja ter aulas em dias consecutivos?
Passo 1
O enunciado (resumido) e o que se pede:
- Hugo terá aulas duas vezes por semana, durante um ano. Isso significa que, para cada semana, ele escolhe dois dias da semana (entre 7 dias: domingo, segunda, …, sábado) para ter aula.
- Há uma restrição: Hugo não quer ter aulas em dias consecutivos. Aqui “dias consecutivos” inclui o par domingo–segunda (ou seja, a semana é cíclica).
- Pergunta: quantos modos distintos existem de escolher os dois dias da semana que Hugo terá aula, respeitando a restrição de não serem consecutivos?
Passo 2
Contagem total sem restrição (ideia básica de combinatória).
- Se ignorarmos a restrição, o número de maneiras de escolher 2 dias entre 7, sem importar a ordem, é dado pelo coeficiente binomial
- Lembrete:
, onde (fatorial) é . - Calculando:
Então há
pares de dias possíveis sem considerar a restrição.
Passo 3
Contar os casos proibidos (pares de dias consecutivos).
- Na semana cíclica de 7 dias existem exatamente 7 pares de dias consecutivos:
. - Cada um desses pares é um par de dias distintos e não ordenados; portanto o número de pares proibidos é
.
Passo 4
Aplicar complemento: subtrair os casos proibidos do total.
- Número de escolhas válidas
total proibidos.
Passo 5
Verificação por método alternativo construtivo (confirmação e intuição).
- Escolha um dia inicial (há
escolhas). Após escolher esse dia, não se pode escolher nem esse dia nem os dois vizinhos (os dias consecutivos), sobrando dias possíveis para o segundo dia. - Contagem ordenada daria
, mas como a escolha dos dois dias é sem ordem cada par foi contado duas vezes; então dividir por :
o mesmo resultado, confirmando que está coerente.