2) Questão 2 - (5Pts)

A força P=160 \mathrm{kN} é aplicada na ponta da viga a uma distância d=50 \mathrm{~mm} da borda inferior. Sabendo que a viga tem uma espessura de 10 mm , (a) determine as tensões normais em A e B na seção a-a da viga, (b) determine a altura da seção a-a na qual a tensão é nula e (c) esboça o diagrama das tensões na seção.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e todas as informações fornecidas (peguei estes valores da imagem):
  • O enunciado pede:
    (a) determinar as tensões normais em A e B na seção a\text{-}a;
    (b) determinar a altura da seção a\text{-}a na qual a tensão é nula (ou seja, localizar a linha neutra onde \sigma=0);
    (c) esboçar o diagrama das tensões na seção (descrição do formato e valores).
  • Dados (peguei da imagem):
    • Força P = 160\\ \mathrm{kN} = 160\,000\\ \mathrm{N}.
    • Distância vertical do ponto de aplicação ao bordo inferior d = 50\\ \mathrm{mm}.
    • Altura da seção (espessura vertical) h = 200\\ \mathrm{mm}.
    • Espessura (largura fora do plano) b = 10\\ \mathrm{mm}.
    • Observação sobre posicionamento: o centroide da seção retangular está no meio da altura (a 100\\ \mathrm{mm} do topo e do fundo). A força P é axial, aplicada com excentricidade vertical relativa ao centroide, gerando esforço axial mais um momento de flexão constante igual a P vezes a excentricidade.
  • Notas sobre sinais e convenções que vou usar:
    • Tomarei y medido a partir do centroide da seção, positivo para cima (sentido do topo).
    • Tensões de compressão serão mostradas com sinal negativo e tração com sinal positivo.
    • Fórmula de tensão normal combinada (tração/compressão + flexão) usada: \sigma(y)= -\frac{P}{A} + \frac{M\,y}{I},onde A é a área da seção, I o momento de inércia da seção em relação ao eixo horizontal que passa pelo centroide, M é o momento de flexão na seção e y a coordenada vertical do ponto analisado (positiva para cima).

Passo 2

Calcular a área da seção A e o momento de inércia I da seção retangular (fórmulas e significado):
  • Área da seção retangular: A = b\cdot h,onde b é a largura (espessura) e h a altura.
  • Momento de inércia da retângulo em relação ao eixo neutro horizontal (pelo centroide): I = \frac{b\,h^{3}}{12},onde h é elevado ao cubo porque o momento de inércia cresce fortemente com a dimensão perpendicular ao eixo.
Agora substituindo os valores (peguei b e h da imagem):
A = 10\\ \mathrm{mm}\times 200\\ \mathrm{mm} = 2000\\ \mathrm{mm}^{2}.
I = \frac{10\cdot(200)^{3}}{12} = \frac{10\cdot 8\,000\,000}{12} = \frac{80\,000\,000}{12} = \frac{20\,000\,000}{3}\\ \mathrm{mm}^{4} \approx 6{,}666\,666{,}7\\ \mathrm{mm}^{4}.

Passo 3

Determinar a excentricidade e (distância do centroide até a linha de ação de P) e o momento M:
  • O centroide está a 100\\ \mathrm{mm} acima do bordo inferior (metade de 200\\ \mathrm{mm}). Como a força está a d=50\\ \mathrm{mm} do bordo inferior (peguei d da imagem), a coordenada vertical do ponto de aplicação relativa ao centroide é e = d - \frac{h}{2} = 50 - 100 = -50\\ \mathrm{mm}.O sinal negativo indica que a linha de ação de P fica abaixo do centroide (isto só afeta o sinal do momento).
  • O momento na seção devido à excentricidade é M = P\cdot e = 160\,000\\ \mathrm{N}\times (-50\\ \mathrm{mm}) = -8{,}000{,}000\\ \mathrm{N\cdot mm}.Em módulo |M| = 8{,}000{,}000\\ \mathrm{N\cdot mm}.

Passo 4

Calcular a tensão axial direta (uniforme) e depois a contribuição de flexão:
  • Tensão axial (uniforme) devido a P: \sigma_{\text{axial}} = -\frac{P}{A} = -\frac{160\,000}{2000}\\ \mathrm{N/mm^{2}} = -80\\ \mathrm{N/mm^{2}} = -80\\ \mathrm{MPa}.(sinal negativo: compressão).
  • A fórmula da flexão para tensão em uma fibra a distância y do centroide é \sigma_{\text{flex}}(y)=\frac{M\,y}{I}.Lembre que M é negativo ( M=-8\cdot10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}).
Agora avalio nos pontos pedidos. Pelas marcações da figura, o ponto A é no topo da seção e o ponto B é no fundo (inferior). As coordenadas y medidas a partir do centroide são:
  • Para A: y_{A}= +\dfrac{h}{2}=+100\\ \mathrm{mm}.
  • Para B: y_{B}= -\dfrac{h}{2}=-100\\ \mathrm{mm}.
Cálculo da tensão de flexão em A e B:
\sigma_{\text{flex}}(A)=\frac{M\,y_{A}}{I}=\frac{(-8{,}000{,}000)\cdot(+100)}{6{,}666{,}666{,}7} = \frac{-800{,}000{,}000}{6{,}666{,}666{,}7} \approx -120\\ \mathrm{MPa}.
\sigma_{\text{flex}}(B)=\frac{M\,y_{B}}{I}=\frac{(-8{,}000{,}000)\cdot(-100)}{6{,}666{,}666{,}7} = \frac{+800{,}000{,}000}{6{,}666{,}666{,}7} \approx +120\\ \mathrm{MPa}.
Combinação das tensões (axial + flexão) em cada ponto:
\sigma(A)=\sigma_{\text{axial}}+\sigma_{\text{flex}}(A) = -80 + (-120) = -200\\ \mathrm{MPa}.
\sigma(B)=\sigma_{\text{axial}}+\sigma_{\text{flex}}(B) = -80 + 120 = +40\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação rápida: no topo (A) a tensão é compressiva de 200\\ \mathrm{MPa}; no fundo (B) a tensão é trativa de 40\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Determinar a altura (posição y) onde a tensão é nula ( \sigma=0):
  • Condição \sigma(y)=0 implica -\frac{P}{A} + \frac{M\,y}{I}=0 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{P}{A}\cdot\frac{I}{-M}.Substituindo os valores: y = 80\\ \mathrm{MPa}\cdot\frac{6{,}666{,}666{,}7\\ \mathrm{mm^{4}}}{8{,}000{,}000\\ \mathrm{N\cdot mm}} = 80\cdot 0{,}8333333\\ \mathrm{mm} = 66{,}666\,67\\ \mathrm{mm}.
  • Lembre que y está medido a partir do centroide para cima. Então a linha onde \sigma=0 fica 66{,}666\,67\\ \mathrm{mm} acima do centroide. Em relação ao topo da seção (topo a +100\\ \mathrm{mm} do centroide), isso significa que a linha neutra está a 100 - 66{,}666\,67 = 33{,}333\,33\\ \mathrm{mm}abaixo do topo da seção. Em outras palavras, começando pelo topo, a tensão vai de compressão máxima até zero depois de 33{,}33\\ \mathrm{mm}, e abaixo desse ponto passa a tração que atinge +40\\ \mathrm{MPa} no fundo.

Passo 6

Esboço e descrição do diagrama de tensões na seção (como desenhar/entender o diagrama):
  • O diagrama é linear (distribuição de flexão + componente uniforme do axial desloca a reta verticalmente).
  • Valores chave:
    • No topo (ponto A, a 33{,}33\\ \mathrm{mm} acima da linha neutra): \sigma(A)=-200\\ \mathrm{MPa} (compressão).
    • Na linha neutra (a 33{,}33\\ \mathrm{mm} abaixo do topo): \sigma=0.
    • No fundo (ponto B): \sigma(B)=+40\\ \mathrm{MPa} (tração).
  • Geometricamente, para esboçar: trace a altura total 200\\ \mathrm{mm}, marque o ponto neutro a 33{,}33\\ \mathrm{mm} abaixo do topo; desenhe uma linha reta de -200\\ \mathrm{MPa} no topo a +40\\ \mathrm{MPa} no fundo. Indique compressão (negativa) acima da linha neutra e tração (positiva) abaixo.

Resposta

(a) \sigma(A) = -200\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma(B)=+40\\ \mathrm{MPa}.
(b) A tensão é nula na fibra localizada a 33{,}333\\ \mathrm{mm} abaixo do topo da seção (equivalente a y=+66{,}666\\ \mathrm{mm} acima do centroide).
(c) Diagrama: distribuição linear de -200\\ \mathrm{MPa} (topo) até +40\\ \mathrm{MPa} (fundo), com \sigma=0 a 33{,}333\\ \mathrm{mm} abaixo do topo.

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