2) Questão 2 - (5Pts)
A força
é aplicada na ponta da viga a uma distância
da borda inferior. Sabendo que a viga tem uma espessura de 10 mm , (a) determine as tensões normais em A e B na seção a-a da viga, (b) determine a altura da seção a-a na qual a tensão é nula e (c) esboça o diagrama das tensões na seção.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e todas as informações fornecidas (peguei estes valores da imagem):
- O enunciado pede:
(a) determinar as tensões normais em A e B na seção;
(b) determinar a altura da seçãona qual a tensão é nula (ou seja, localizar a linha neutra onde );
(c) esboçar o diagrama das tensões na seção (descrição do formato e valores). - Dados (peguei da imagem):
- Força
. - Distância vertical do ponto de aplicação ao bordo inferior
. - Altura da seção (espessura vertical)
. - Espessura (largura fora do plano)
. - Observação sobre posicionamento: o centroide da seção retangular está no meio da altura (a
do topo e do fundo). A força é axial, aplicada com excentricidade vertical relativa ao centroide, gerando esforço axial mais um momento de flexão constante igual a vezes a excentricidade.
- Força
- Notas sobre sinais e convenções que vou usar:
- Tomarei
medido a partir do centroide da seção, positivo para cima (sentido do topo). - Tensões de compressão serão mostradas com sinal negativo e tração com sinal positivo.
- Fórmula de tensão normal combinada (tração/compressão + flexão) usada:
onde é a área da seção, o momento de inércia da seção em relação ao eixo horizontal que passa pelo centroide, é o momento de flexão na seção e a coordenada vertical do ponto analisado (positiva para cima).
- Tomarei
Passo 2
Calcular a área da seção
e o momento de inércia
da seção retangular (fórmulas e significado):
- Área da seção retangular:
onde é a largura (espessura) e a altura. - Momento de inércia da retângulo em relação ao eixo neutro horizontal (pelo centroide):
onde é elevado ao cubo porque o momento de inércia cresce fortemente com a dimensão perpendicular ao eixo.
Agora substituindo os valores (peguei
e
da imagem):
Passo 3
Determinar a excentricidade
(distância do centroide até a linha de ação de
) e o momento
:
- O centroide está a
acima do bordo inferior (metade de ). Como a força está a do bordo inferior (peguei da imagem), a coordenada vertical do ponto de aplicação relativa ao centroide é O sinal negativo indica que a linha de ação de fica abaixo do centroide (isto só afeta o sinal do momento). - O momento na seção devido à excentricidade é
Em módulo
Passo 4
Calcular a tensão axial direta (uniforme) e depois a contribuição de flexão:
- Tensão axial (uniforme) devido a
: (sinal negativo: compressão). - A fórmula da flexão para tensão em uma fibra a distância
do centroide é Lembre que é negativo ( ).
Agora avalio nos pontos pedidos. Pelas marcações da figura, o ponto
é no topo da seção e o ponto
é no fundo (inferior). As coordenadas
medidas a partir do centroide são:
- Para
: - Para
:
Cálculo da tensão de flexão em
e
:
Combinação das tensões (axial + flexão) em cada ponto:
Interpretação rápida: no topo (A) a tensão é compressiva de
; no fundo (B) a tensão é trativa de
.
Passo 5
Determinar a altura (posição
) onde a tensão é nula (
):
- Condição
implica Substituindo os valores: - Lembre que
está medido a partir do centroide para cima. Então a linha onde fica acima do centroide. Em relação ao topo da seção (topo a do centroide), isso significa que a linha neutra está a abaixo do topo da seção. Em outras palavras, começando pelo topo, a tensão vai de compressão máxima até zero depois de , e abaixo desse ponto passa a tração que atinge no fundo.
Passo 6
Esboço e descrição do diagrama de tensões na seção (como desenhar/entender o diagrama):
- O diagrama é linear (distribuição de flexão + componente uniforme do axial desloca a reta verticalmente).
- Valores chave:
- No topo (ponto
, a acima da linha neutra): (compressão). - Na linha neutra (a
abaixo do topo): . - No fundo (ponto
): (tração).
- No topo (ponto
- Geometricamente, para esboçar: trace a altura total
, marque o ponto neutro a abaixo do topo; desenhe uma linha reta de no topo a no fundo. Indique compressão (negativa) acima da linha neutra e tração (positiva) abaixo.
Resposta
(a)
(b) A tensão é nula na fibra localizada a abaixo do topo da seção (equivalente a
acima do centroide).
(c) Diagrama: distribuição linear de (topo) até
(fundo), com
a
abaixo do topo.
(b) A tensão é nula na fibra localizada a
(c) Diagrama: distribuição linear de