Questão 60. Uma determinada mola, de massa desprezível, está presa verticalmente por uma extremidade. Uma certa massa m, suportada pela outra extremidade, está animada de uma velocidade inicial v_{0} quando a mola está sem deformação alguma. Achar a velocidade v, em função da deformação x, da mola. (Resp. m v^{2}=2 m g x-\kappa x^{2}+m v_{0}^{2}, onde \kappa>0 é uma constante dada pela Lei de Hooke e g é a aceleração da gravidade. )

Passo 1

O enunciado trata de uma massa m presa a uma mola ideal (massa desprezível), no eixo vertical. No instante em que a mola não está deformada x=0, a massa recebe velocidade inicial v_{0} para baixo. À medida que a massa desce, a mola se estende de 0 até x e a velocidade passa a ser v. Precisamos relacionar v com x usando conservação de energia (energia cinética + energia potencial gravitacional + energia elástica).

Passo 2

Anotemos as energias nos dois instantes:
Inicial x=0:
– Energia cinética
K_{i} = \frac{1}{2}m v_{0}^{2}.
– Energia potencial gravitacional (medida com U_{g}=m g y, tomando y=0 em x=0)
U_{g,i} = 0.
– Energia potencial elástica
U_{s,i} = 0.
Final x:
– Energia cinética
K_{f} = \frac{1}{2}m v^{2}.
– Energia potencial gravitacional (agora y=-x, pois desceu x)
U_{g,f} = m g(-x) = -\,m g x.
– Energia potencial elástica da mola
U_{s,f} = \frac{1}{2}\kappa x^{2}.

Passo 3

Pela conservação da energia mecânica (sem dissipação):
K_{i} + U_{g,i} + U_{s,i} = K_{f} + U_{g,f} + U_{s,f}.
Substituindo cada termo:
\frac{1}{2}m v_{0}^{2} + 0 + 0 = \frac{1}{2}m v^{2} + \bigl(-m g x\bigr) + \frac{1}{2}\kappa x^{2}.

Passo 4

Isolando \tfrac12 m v^{2}:
\frac{1}{2}m v^{2} = \frac{1}{2}m v_{0}^{2} + m g x - \frac{1}{2}\kappa x^{2}.
Multiplicando tudo por 2:
m v^{2} = m v_{0}^{2} + 2\,m g x \;-\;\kappa x^{2}.

Resposta

m v^{2} = m v_{0}^{2} + 2\,m g x - \kappa x^{2}.

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