Questão 63. De quantos modos podemos permutar as letras da palavra SORTE de modo que nenhuma delas fique na posição inicial?
Passo 1
O enunciado dá a palavra SORTE, que tem 5 letras distintas. As letras ocupam inicialmente posições 1 a 5 na ordem
.
A pergunta é: de quantos modos podemos permutar as letras dessa palavra de modo que nenhuma letra fique em sua posição inicial? Em outras palavras: contar as permutações das 5 letras sem pontos fixos (nenhuma letra permanece na mesma posição que tinha originalmente).
A pergunta é: de quantos modos podemos permutar as letras dessa palavra de modo que nenhuma letra fique em sua posição inicial? Em outras palavras: contar as permutações das 5 letras sem pontos fixos (nenhuma letra permanece na mesma posição que tinha originalmente).
Informações relevantes:
- Número de letras:
. - Todas as letras são distintas.
- Queremos permutações sem nenhum ponto fixo (derangements).
Passo 2
Vamos entender o que significa “derangement” (desarranjo). Uma permutação de
objetos tem um ponto fixo quando um objeto fica na mesma posição que no arranjo inicial. Um derangement é uma permutação sem pontos fixos.
Fórmula e ideia que vamos usar (princípio da inclusão-exclusão):
- O número total de permutações de
objetos é . - Para contar permutações sem pontos fixos, podemos usar inclusão-exclusão: conte todas as permutações e subtraia as que têm pelo menos 1 ponto fixo, corrija as sobrecontagens adicionando as que têm pelo menos 2 pontos fixos, e assim por diante.
- O número de permutações que fixam exatamente
posições é: escolher quais posições ficam fixas, , e permutar livremente as restantes, . Então, por inclusão-exclusão,
Podemos reorganizar essa soma para a forma mais conhecida
Aqui
é o fatorial de
(
) e
é o fatorial de
.
Passo 3
Aplicando a fórmula para
. Primeiro cálculo por inclusão-exclusão termo a termo, usando
:
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Agora aplicamos os sinais alternados da inclusão-exclusão:
Fazendo as somas:
Portanto
.
Passo 4
Para reforçar a intuição: existe também a fórmula recorrente
com
e
. Usando essa recorrência:
-
. -
. -
.
Essa verificação alternativa confirma o resultado obtido por inclusão-exclusão.
Passo 5
Um exemplo pequeno para fixar a ideia: para
com letras
, as permutações sem nenhuma na posição original são
e
, ou seja,
. Esse tipo de contagem é exatamente o que fizemos para
, mas com cálculo maior.
Força aí — derangements podem parecer chatos, mas com inclusão-exclusão ou a recorrência eles caem bem.