Questão 62: O princípio do trabalho máximo III
Considere duas fontes térmicas. A primeira, mais quente, tem temperatura inicial T_{1} e capacidade térmica C_{1}. A segunda, mais fria, tem temperatura inicial T_{2} e capacidade térmica C_{2}.
(1) Utilizando exclusivamente essas duas fontes térmicas, qual é a quantidade máxima de trabalho que pode ser extraída por qualquer máquina térmica?
(2) No contexto em que o trabalho máximo foi extraído, quais são as temperaturas finais das duas fontes?
Dica: A questão pode ser resolvida tanto pelo teorema de Carnot quanto pela noção de entropia.

Passo 1

O enunciado dá duas reservas térmicas de capacidades C_{1} e C_{2} e temperaturas iniciais T_{1}>T_{2}. Queremos extrair o máximo de trabalho apenas usando uma máquina térmica que as interconecta, e nos pede (1) esse trabalho máximo e (2) as temperaturas finais. Vamos usar a noção de entropia e conservação de energia para resolver.

Passo 2

Como a máquina funciona de forma reversível até parar, a variação total de entropia das duas fontes é zero:
\Delta S_{\rm total} = C_{1}\ln\!\bigl(\tfrac{T_{f1}}{T_{1}}\bigr) + C_{2}\ln\!\bigl(\tfrac{T_{f2}}{T_{2}}\bigr) =0.
Aqui T_{f1} e T_{f2} são as temperaturas finais de cada fonte.

Passo 3

O processo pára quando não há mais diferença de temperatura entre as fontes, isto é,
T_{f1}=T_{f2}=T_{f}.
Substituindo em \Delta S_{\rm total}=0 obtemos
C_{1}\ln\!\bigl(\tfrac{T_{f}}{T_{1}}\bigr) + C_{2}\ln\!\bigl(\tfrac{T_{f}}{T_{2}}\bigr) =0 \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\bigl(\tfrac{T_{f}^{\,C_{1}+C_{2}}}{T_{1}^{\,C_{1}}\;T_{2}^{\,C_{2}}}\bigr)=0
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T_{f} = T_{1}^{\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}} \;T_{2}^{\frac{C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}.

Passo 4

O trabalho extraído vem da diminuição da energia interna das fontes. Como cada fonte tem calor específico constante, a variação de energia interna é \Delta U_{i}=C_{i}(T_{i}-T_{f}). Assim o trabalho máximo é
W_{\max} = \bigl[C_{1}(T_{1}-T_{f}) + C_{2}(T_{2}-T_{f})\bigr] = C_{1}T_{1} + C_{2}T_{2} - (C_{1}+C_{2})\,T_{f}.

Resposta

(1)
W_{\max} = C_{1}T_{1} + C_{2}T_{2} - (C_{1}+C_{2}) \,T_{1}^{\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}} \,T_{2}^{\frac{C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}.
(2)
T_{f1}=T_{f2} = T_{f} = T_{1}^{\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}} \,T_{2}^{\frac{C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}.

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