Questão 61: O princípio do trabalho máximo II
Considere duas fontes térmicas. A primeira, mais quente, possui temperatura inicial T_{1} e capacidade térmica C_{1}. A segunda, mais fria, tem temperatura constante T_{2} e é um reservatório térmico infinito.
Utilizando exclusivamente essas duas fontes térmicas, qual é a quantidade máxima de trabalho que pode ser extraída utilizando qualquer tipo de máquina térmica?
Dica: A questão pode ser resolvida tanto pelo teorema de Carnot quanto pela noção de entropia.

Passo 1

O enunciado dá duas fontes térmicas:
– Uma fonte finita com capacidade térmica C_{1} e temperatura inicial T_{1}.
– Um reservatório infinito à temperatura constante T_{2}, sendo T_{2}<T_{1}.
Pede-se a quantidade máxima de trabalho extraível por qualquer máquina térmica entre essas duas fontes.
Conteúdo: termodinâmica (1.ª e 2.ª leis), eficiência de Carnot e entropia.

Passo 2

Para extrair o máximo de trabalho, a máquina térmica deve operar de forma reversível, pois qualquer irreversibilidade gera produção de entropia e reduz o trabalho. Num processo reversível a entropia total do sistema é constante:
\Delta S_{\rm total}=\Delta S_{1}+\Delta S_{2}=0.

Passo 3

Calculamos a variação de entropia da fonte finita ao ser resfriada de T_{1} até T_{2}:
\Delta S_{1} =\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{C_{1}\,dT}{T} =C_{1}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}.

Passo 4

Como \Delta S_{1}+\Delta S_{2}=0, segue
\Delta S_{2}=-\Delta S_{1} =-C_{1}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}} =C_{1}\ln\frac{T_{1}}{T_{2}}.
E, por ser o reservatório à temperatura constante T_{2}, o calor trocado é
Q_{2}=T_{2}\,\Delta S_{2} =T_{2}\,C_{1}\ln\frac{T_{1}}{T_{2}}.

Passo 5

O calor extraído da fonte finita é a simples variação de energia interna (capacidades térmicas constantes):
Q_{1} =\int_{T_{2}}^{T_{1}}C_{1}\,dT =C_{1}\bigl(T_{1}-T_{2}\bigr).

Passo 6

O trabalho máximo é a diferença entre o calor recebido e o calor rejeitado:
W_{\max} =Q_{1}-Q_{2} =C_{1}\bigl(T_{1}-T_{2}\bigr) - T_{2}\,C_{1}\ln\frac{T_{1}}{T_{2}}.

Resposta

W_{\max} =C_{1}\Bigl[(T_{1}-T_{2})-T_{2}\ln\frac{T_{1}}{T_{2}}\Bigr].

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