Questão 64. Encontre os valores das constantes A, B, C, D e E que tornam as igualdades abaixo verdadeiras:
\frac{1-x+2 x^{2}-x^{3}}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+1}+\frac{D x+E}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\frac{1-x+2 x^{2}-x^{3}}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+1}+\frac{D x+E}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}
e pede encontrar as constantes A,B,C,D,E que tornam essa igualdade verdadeira para todo x (exceto pontos em que a expressão está indefinida).
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador da fração à esquerda é 1-x+2x^{2}-x^{3}.
  • O denominador é x\left(x^{2}+1\right)^{2}.
  • A decomposição pedida tem termos \dfrac{A}{x}, \dfrac{Bx+C}{x^{2}+1} e \dfrac{Dx+E}{(x^{2}+1)^2}.
    O que se pede explicitamente: determinar os valores numéricos de A,B,C,D,E.

Passo 2

Estratégia (motivação didática, sem pular etapas): para encontrar A,B,C,D,E vamos eliminar as frações multiplicando ambos os lados pelo denominador comum x\left(x^{2}+1\right)^{2}. Isso transforma a igualdade em uma igualdade entre polinômios (numeradores), que deve valer para todo x. Uma vez obtida essa igualdade de polinômios, comparamos coeficientes dos mesmos monômios (mesmas potências de x) para obter um sistema linear nas incógnitas A,B,C,D,E. Esse método é padrão em frações parciais e é exato porque dois polinômios iguais para todos os x têm coeficientes iguais.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x\left(x^{2}+1\right)^{2} obtemos
1-x+2x^{2}-x^{3}=A\left(x^{2}+1\right)^{2}+(Bx+C)\,x\,(x^{2}+1)+(Dx+E)\,x.
Agora vamos expandir os termos do lado direito com calma.
Primeiro,
\left(x^{2}+1\right)^{2}=x^{4}+2x^{2}+1,
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A\left(x^{2}+1\right)^{2}=A x^{4}+2A x^{2}+A.
Segundo, calculemos (Bx+C)\,x\,(x^{2}+1). Primeiro (Bx+C)x=Bx^{2}+Cx. Multiplicando por (x^{2}+1):
(Bx^{2}+Cx)(x^{2}+1)=B x^{4}+B x^{2}+C x^{3}+C x.
Terceiro,
(Dx+E)x=D x^{2}+E x.
Somando os três resultados, o lado direito vira
(A+B) x^{4} + C x^{3} + (2A+B+D) x^{2} + (C+E) x + A.

Passo 4

Agora igualamos os coeficientes do polinômio obtido ao polinômio do lado esquerdo 1-x+2x^{2}-x^{3}. Escrevendo os coeficientes por potência de x:
Lado esquerdo:
  • coeficiente de x^{4}: 0
  • coeficiente de x^{3}: -1
  • coeficiente de x^{2}: 2
  • coeficiente de x^{1}: -1
  • coeficiente de x^{0}: 1
Lado direito (da expansão):
  • coeficiente de x^{4}: A+B
  • coeficiente de x^{3}: C
  • coeficiente de x^{2}: 2A+B+D
  • coeficiente de x^{1}: C+E
  • coeficiente de x^{0}: A
Igualando coeficientes obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] C=-1,\\[4pt] 2A+B+D=2,\\[4pt] C+E=-1,\\[4pt] A=1. \end{cases}]

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo, usando as equações mais simples primeiro.
Da última equação temos diretamente
A=1.
Com A=1 e da primeira equação A+B=0 segue
B=-A=-1.
Da segunda equação temos
C=-1.
Da quarta equação C+E=-1 substituindo C=-1 obtemos
-1+E=-1\quad\Rightarrow\quad E=0.
Finalmente, da terceira equação 2A+B+D=2, substituindo A=1 e B=-1:
2\cdot 1 + (-1) + D = 2 \quad\Rightarrow\quad 1 + D = 2 \quad\Rightarrow\quad D=1.
Portanto os valores são A=1, B=-1, C=-1, D=1, E=0.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, feita mentalmente): com esses valores os coeficientes casam com os do numerador original, então a decomposição está correta. A decomposição final é
\frac{1-x+2 x^{2}-x^{3}}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{1}{x}+\frac{-x-1}{x^{2}+1}+\frac{x+0}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.

Resposta

A=1
B=-1
C=-1
D=1
E=0

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