Questão 64. Encontre os valores das constantes A, B, C, D e E que tornam as igualdades abaixo verdadeiras:
\frac{2 x^{2}-x+4}{x^{3}+4 x}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado dá a igualdade racional
\frac{2 x^{2}-x+4}{x^{3}+4 x}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+4}
e pede os valores das constantes A,B,C,D,E. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador do lado esquerdo é \,2x^{2}-x+4.
  • O denominador do lado esquerdo é \,x^{3}+4x. Nota-se que x^{3}+4x fatora como x(x^{2}+4).
  • No lado direito aparecem apenas as constantes A,B,C; as constantes D e E não aparecem nessa igualdade, portanto só é possível determinar A,B,C a partir da igualdade fornecida.
  • O objetivo é encontrar A,B,C tal que a igualdade seja verdadeira para todo x (onde as expressões estão definidas).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e bem prática).
Queremos decompor a fração em frações parciais. Como o denominador fatora em um fator linear x e um fator quadrático irreduzível x^{2}+4, a forma correta da decomposição é exatamente
\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+4}.
Para encontrar A,B,C usamos o princípio das identidades de polinômios: multiplicamos ambos os lados por x(x^{2}+4) para eliminar denominadores e obter uma igualdade entre polinômios que deve valer para todo x. Depois podemos obter os coeficientes por substituição de valores convenientes de x ou igualando coeficientes. Vou mostrar os dois passos (primeiro eliminar denominadores, depois resolver).

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+4) (domínio exclui x=0, mas a identidade polinomial resultante vale para todos os x por continuação), obtemos:
2x^{2}-x+4 = A(x^{2}+4) + (B x+C)\,x.
Esta é uma igualdade de polinômios em x — os coeficientes dos mesmos graus de x devem coincidir nos dois lados.

Passo 4

Usando substituição de valor conveniente: tomar x=0 é muito prático porque zera o termo (Bx+C)x. Substituindo x=0 na identidade polinomial:
2\cdot 0^{2} - 0 + 4 = A(0^{2}+4) + (B\cdot 0 + C)\cdot 0.
Isto simplifica para
4 = 4A.
Logo
A = 1.

Passo 5

Agora expandimos e agrupamos os termos do lado direito para comparar coeficientes. Substituindo A=1 depois:
Primeiro escrevemos genericamente
A(x^{2}+4) + (B x+C)x = A x^{2} + 4A + B x^{2} + C x.
Agrupando termos semelhantes:
(A+B)\,x^{2} + C\,x + 4A.

Passo 6

Comparando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo \,2x^{2}-x+4, obtemos o sistema (coeficientes de cada potência de x):
  • Coeficiente de x^{2}: A + B = 2.
  • Coeficiente de x^{1}: C = -1.
  • Termo constante: 4A = 4.
Já usamos 4A=4 para achar A=1. Substituindo A=1 na primeira equação:
1 + B = 2 \quad\Rightarrow\quad B = 1.
Da equação do coeficiente de x temos diretamente
C = -1.

Passo 7

Resumo dos valores encontrados:
A = 1,\qquad B = 1,\qquad C = -1.
Reforço prático: a igualdade original pode ser verificada substituindo esses valores de volta e simplificando.

Resposta

A=1
B=1
C=-1

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