Questão 64. Encontre os valores das constantes
e
que tornam as igualdades abaixo verdadeiras:
Passo 1
O enunciado dá a igualdade racional
e pede os valores das constantes
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador do lado esquerdo é
. - O denominador do lado esquerdo é
. Nota-se que fatora como . - No lado direito aparecem apenas as constantes
; as constantes e não aparecem nessa igualdade, portanto só é possível determinar a partir da igualdade fornecida. - O objetivo é encontrar
tal que a igualdade seja verdadeira para todo (onde as expressões estão definidas).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e bem prática).
Queremos decompor a fração em frações parciais. Como o denominador fatora em um fator linear e um fator quadrático irreduzível
, a forma correta da decomposição é exatamente
Queremos decompor a fração em frações parciais. Como o denominador fatora em um fator linear
Para encontrar
usamos o princípio das identidades de polinômios: multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores e obter uma igualdade entre polinômios que deve valer para todo
. Depois podemos obter os coeficientes por substituição de valores convenientes de
ou igualando coeficientes. Vou mostrar os dois passos (primeiro eliminar denominadores, depois resolver).
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
(domínio exclui
, mas a identidade polinomial resultante vale para todos os
por continuação), obtemos:
Esta é uma igualdade de polinômios em
— os coeficientes dos mesmos graus de
devem coincidir nos dois lados.
Passo 4
Usando substituição de valor conveniente: tomar
é muito prático porque zera o termo
. Substituindo
na identidade polinomial:
Isto simplifica para
Logo
Passo 5
Agora expandimos e agrupamos os termos do lado direito para comparar coeficientes. Substituindo
depois:
Primeiro escrevemos genericamente
Primeiro escrevemos genericamente
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Comparando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo
, obtemos o sistema (coeficientes de cada potência de
):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Já usamos
para achar
. Substituindo
na primeira equação:
Da equação do coeficiente de
temos diretamente
Passo 7
Resumo dos valores encontrados:
Reforço prático: a igualdade original pode ser verificada substituindo esses valores de volta e simplificando.