Questão 66. Pedro tomou um empréstimo de 300 reais, a juros de 15 \% a.m. Após um bimestre, Pedro pagou 150 reais e, um mês após esse pagamento, Pedro Liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento?

Passo 1

O enunciado diz que Pedro tomou um empréstimo e depois fez dois pagamentos em momentos diferentes. Vou listar claramente o que é dado e o que pedem.
  • Valor inicial do empréstimo: R\$\,300.
  • Taxa de juros: 15\% ao mês (ou seja, i=0,15 por mês).
  • Após um bimestre (ou seja, após 2 meses) Pedro pagou R\$\,150.
  • Um mês depois desse pagamento (ou seja, no mês 3 desde o empréstimo) Pedro liquidou o débito com um último pagamento.
  • Pergunta: Qual o valor desse último pagamento?

Passo 2

Entendendo como o débito cresce com o tempo (no jargão técnico: capitalização composta).
  • Quando temos juros compostos mensais, o montante A após n meses de um principal P com taxa mensal i é dado por
A = P(1+i)^n.
  • Aqui:
    • P é o valor inicial (principal);
    • i é a taxa mensal em forma decimal (por exemplo, 15\% = 0,15);
    • n é o número de meses;
    • A é o montante (principal + juros acumulados) após n meses.
Isso significa: a cada mês multiplicamos o que devemos por 1+i. Exemplo rápido: se devo 100 e i=0,10 (10%), após 1 mês devo 100\cdot(1+0,10)=110.

Passo 3

Calcular quanto a dívida virou imediatamente antes do pagamento de R\$\,150, isto é, depois de 2 meses.
  • Aplicando a fórmula com P=300, i=0,15 e n=2:
\text{dívida após 2 meses} = 300(1+0,15)^2 = 300(1,15)^2.íó
  • Calcule (1,15)^2. Temos 1,15^2 = 1,3225. Então
300\cdot 1,3225 = 396,75.
Logo, imediatamente antes do pagamento de R\$\,150 a dívida era R\$\,396,75.

Passo 4

Aplicar o pagamento de R\$\,150 feito no mês 2 e achar o saldo remanescente logo após esse pagamento.
  • Saldo após pagamento = dívida antes do pagamento menos o que foi pago:
\text{saldo} = 396,75 - 150 = 246,75.
Portanto, após o pagamento de R\$\,150 o que resta dever é R\$\,246,75.

Passo 5

Fazer o saldo crescer por mais 1 mês até o momento da liquidação (um mês depois do pagamento).
  • Novo montante após mais 1 mês com taxa i=0,15 é:
\text{último pagamento} = 246,75\cdot(1+0,15) = 246,75\cdot 1,15.ú
  • Para calcular, posso somar 15\% de 246,75 a ele:
    • 15\% de 246,75 é 0,15\cdot 246,75 = 37,0125.
    • Somando: 246,75 + 37,0125 = 283,7625.
Portanto o valor exato do último pagamento é R\$\,283,7625.

Passo 6

(Verificação alternativa: escrever tudo em uma expressão única.)
  • Podemos escrever o último pagamento como
300(1,15)^3 - 150(1,15).
  • Calculando (1,15)^3 = 1,520875, então 300\cdot 1,520875 = 456,2625.
  • E 150\cdot 1,15 = 172,5.
  • Subtraindo: 456,2625 - 172,5 = 283,7625, que confere com o cálculo anterior.

Resposta

R\$\,283,76

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