Questão 66. Pedro tomou um empréstimo de 300 reais, a juros de
a.m. Após um bimestre, Pedro pagou 150 reais e, um mês após esse pagamento, Pedro Liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento?
Passo 1
O enunciado diz que Pedro tomou um empréstimo e depois fez dois pagamentos em momentos diferentes. Vou listar claramente o que é dado e o que pedem.
- Valor inicial do empréstimo:
. - Taxa de juros:
ao mês (ou seja, por mês). - Após um bimestre (ou seja, após
meses) Pedro pagou . - Um mês depois desse pagamento (ou seja, no mês
desde o empréstimo) Pedro liquidou o débito com um último pagamento. - Pergunta: Qual o valor desse último pagamento?
Passo 2
Entendendo como o débito cresce com o tempo (no jargão técnico: capitalização composta).
- Quando temos juros compostos mensais, o montante
após meses de um principal com taxa mensal é dado por
- Aqui:
-
é o valor inicial (principal); -
é a taxa mensal em forma decimal (por exemplo, = ); -
é o número de meses; -
é o montante (principal + juros acumulados) após meses.
-
Isso significa: a cada mês multiplicamos o que devemos por
. Exemplo rápido: se devo
e
(10%), após 1 mês devo
.
Passo 3
Calcular quanto a dívida virou imediatamente antes do pagamento de
, isto é, depois de
meses.
- Aplicando a fórmula com
, e :
- Calcule
. Temos . Então
Logo, imediatamente antes do pagamento de
a dívida era
.
Passo 4
Aplicar o pagamento de
feito no mês 2 e achar o saldo remanescente logo após esse pagamento.
- Saldo após pagamento = dívida antes do pagamento menos o que foi pago:
Portanto, após o pagamento de
o que resta dever é
.
Passo 5
Fazer o saldo crescer por mais 1 mês até o momento da liquidação (um mês depois do pagamento).
- Novo montante após mais 1 mês com taxa
é:
- Para calcular, posso somar
de a ele: -
de é . - Somando:
.
-
Portanto o valor exato do último pagamento é
.
Passo 6
(Verificação alternativa: escrever tudo em uma expressão única.)
- Podemos escrever o último pagamento como
- Calculando
, então . - E
. - Subtraindo:
, que confere com o cálculo anterior.