Questão 67 (IFRN-2006). Sobre uma mesa, há dezenove bolas de bilhar, das quais dez são verdes, cinco são azuis e quatro são pretas. De quantos de modos diferentes que podemos enfileirar essas bolas de modo que duas da mesma cor não fiquem juntas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 19 bolas no total.
  • 10 são verdes, 5 são azuis e 4 são pretas.
  • Pedido: contar de quantos modos podemos enfileirar as 19 bolas de modo que duas bolas da mesma cor não fiquem juntas.
Resumo das quantidades que usarei depois:
  • n_{\text{total}}=19,
  • n_G=10 (verdes),
  • n_A=5 (azuis),
  • n_P=4 (pretas).

Passo 2

Primeiro vamos checar se é mesmo possível arranjar as bolas sem que duas da mesma cor fiquem juntas. Uma condição clássica (necessária e suficiente para esse tipo de problema de linha) é que a maior quantidade de bolas de uma cor seja menor ou igual à soma das demais mais 1:
\max\{n_G,n_A,n_P\}\le (n_{\text{total}}-\max\{n_G,n_A,n_P\})+1.
Aqui \max\{n_G,n_A,n_P\}=n_G=10 e as outras somam 5+4=9. Então
10 \le 9+1=10,
ou seja, a condição é satisfeita (com igualdade). Quando há igualdade k = (\text{soma das outras})+1, isso implica que as bolas da cor com maior quantidade (aqui as verdes) devem ocupar todas as “vagas” possíveis sem ficarem adjacentes — concretamente, existe exatamente uma maneira de escolher as posições ocupadas por essas 10 bolas verdes de forma que nenhuma fique adjacente a outra.
Uma forma de ver isso com uma fórmula: o número de maneiras de escolher k posições entre n em linha sem que duas escolhidas sejam consecutivas é
\binom{n-k+1}{k}.
Aplicando com n=19 e k=10:
\binom{19-10+1}{10}=\binom{10}{10}=1.
Portanto há uma única configuração de posições para as 10 bolas verdes: elas ocupam exatamente as posições 1,3,5,\dots,19 (todas as posições ímpares). Isso garante que não haja verdes adjacentes.

Passo 3

Com as 10 posições ímpares ocupadas por verdes de forma forçada, restam 9 posições (as posições pares 2,4,\dots,18) para colocar as 9 bolas não-verdes: 5 azuis e 4 pretas.
Observe que duas bolas não-verdes nunca ficarão adjacentes entre si, porque entre quaisquer duas posições pares há uma posição ímpar ocupada por uma verde. Logo, não há risco de violar a condição “duas da mesma cor não fiquem juntas” no que diz respeito a azuis ou pretas entrarem em adjacência entre si — a única adjacência proibida já foi prevenida ao fixar as verdes nas ímpares.
Portanto o problema reduz-se a: de quantas maneiras podemos colocar 5 bolas azuis idênticas e 4 bolas pretas idênticas em 9 posições distintas (ordem importa entre as posições, mas bolas da mesma cor são indistinguíveis)?
A resposta vem da fórmula de permutações de um multiconjunto: o número de sequências distintas formadas por n objetos dos quais n_1 são iguais de um tipo, n_2 iguais de outro, … é
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\,\cdots}.
Aqui n=9, n_1=5 (azuis), n_2=4 (pretas). Logo o número de arranjos possíveis dos não-verdes é
\frac{9!}{5!\,4!}.

Passo 4

Calculemos \dfrac{9!}{5!\,4!} de forma prática:
\frac{9!}{5!\,4!}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!\cdot4!}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4!}.
Como 4!=24, temos
9\cdot8\cdot7\cdot6=3024, \qquad \frac{3024}{24}=126.

Passo 5

Portanto, levando em conta que a posição das verdes é única para evitar adjacência e que os não-verdes podem ser arranjados de \dfrac{9!}{5!\,4!} maneiras, o número total de enfileiramentos válidos é 126. Força aí — é um número pequeno e manejável para memorizar!

Resposta

126

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