Questão 67 (IFRN-2006). Sobre uma mesa, há dezenove bolas de bilhar, das quais dez são verdes, cinco são azuis e quatro são pretas. De quantos de modos diferentes que podemos enfileirar essas bolas de modo que duas da mesma cor não fiquem juntas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
bolas no total. -
são verdes, são azuis e são pretas. - Pedido: contar de quantos modos podemos enfileirar as
bolas de modo que duas bolas da mesma cor não fiquem juntas.
Resumo das quantidades que usarei depois:
-
, -
(verdes), -
(azuis), -
(pretas).
Passo 2
Primeiro vamos checar se é mesmo possível arranjar as bolas sem que duas da mesma cor fiquem juntas. Uma condição clássica (necessária e suficiente para esse tipo de problema de linha) é que a maior quantidade de bolas de uma cor seja menor ou igual à soma das demais mais
:
Aqui
e as outras somam
. Então
ou seja, a condição é satisfeita (com igualdade). Quando há igualdade
, isso implica que as bolas da cor com maior quantidade (aqui as verdes) devem ocupar todas as “vagas” possíveis sem ficarem adjacentes — concretamente, existe exatamente uma maneira de escolher as posições ocupadas por essas
bolas verdes de forma que nenhuma fique adjacente a outra.
Uma forma de ver isso com uma fórmula: o número de maneiras de escolher
posições entre
em linha sem que duas escolhidas sejam consecutivas é
Aplicando com
e
:
Portanto há uma única configuração de posições para as
bolas verdes: elas ocupam exatamente as posições
(todas as posições ímpares). Isso garante que não haja verdes adjacentes.
Passo 3
Com as
posições ímpares ocupadas por verdes de forma forçada, restam
posições (as posições pares
) para colocar as
bolas não-verdes:
azuis e
pretas.
Observe que duas bolas não-verdes nunca ficarão adjacentes entre si, porque entre quaisquer duas posições pares há uma posição ímpar ocupada por uma verde. Logo, não há risco de violar a condição “duas da mesma cor não fiquem juntas” no que diz respeito a azuis ou pretas entrarem em adjacência entre si — a única adjacência proibida já foi prevenida ao fixar as verdes nas ímpares.
Portanto o problema reduz-se a: de quantas maneiras podemos colocar
bolas azuis idênticas e
bolas pretas idênticas em
posições distintas (ordem importa entre as posições, mas bolas da mesma cor são indistinguíveis)?
A resposta vem da fórmula de permutações de um multiconjunto: o número de sequências distintas formadas por
objetos dos quais
são iguais de um tipo,
iguais de outro, … é
Aqui
,
(azuis),
(pretas). Logo o número de arranjos possíveis dos não-verdes é
Passo 4
Calculemos
de forma prática:
Como
, temos
Passo 5
Portanto, levando em conta que a posição das verdes é única para evitar adjacência e que os não-verdes podem ser arranjados de
maneiras, o número total de enfileiramentos válidos é
. Força aí — é um número pequeno e manejável para memorizar!