Questão 68. (IFRS). Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenha 2 das letras a, b e c?
a) 1692
b) 1520
c) 1512
d) 1572 .
a) 1692
b) 1520
c) 1512
d) 1572 .
Passo 1
Vou entender claramente o que o enunciado pede e quais dados ele dá.
- Dado: as
primeiras letras do alfabeto (ou seja, um conjunto com letras distintas). - Queremos formar anagramas de
letras distintas (ou seja, sequências de comprimento sem repetição). - Condição extra: o anagrama deve conter exatamente
das letras , e . - Pergunta: quantos anagramas satisfazem tudo isso?
- Alternativas:
a)
b)
c)
d)
Passo 2
Interpretar corretamente a condição "conter 2 das letras
". Aqui vou assumir que significa “conter exatamente duas (e não três nem uma) das letras
,
,
”. Essa é a interpretação padrão em questões desse tipo.
Passo 3
Escolher quais das letras especiais
serão usadas.
- Temos
letras em e precisamos escolher delas. - O número de maneiras de escolher
objetos dentre sem ordem é dado por , onde (fatorial) é o produto . - Aplicando:
.
Logo, há
escolhas possíveis para quais duas letras entre
entram no anagrama.
Passo 4
Escolher as outras
letras (para completar as
letras) entre as letras que não são
.
- Das
primeiras letras, são , então restam letras “comuns” (por exemplo até ). - Precisamos escolher
dessas . - Número de maneiras:
.
Passo 5
Contar quantos conjuntos (isto é, quais conjuntos de 4 letras) atendem à condição.
- Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de escolhas de um par das especiais e de dois das outras é o produto:
- Então existem
conjuntos distintos de letras que contêm exatamente duas entre .
Passo 6
Para cada conjunto de
letras distintas, contar quantos anagramas (ordenações) possíveis existem.
- Dado um conjunto de
letras distintas, todo anagrama é uma permutação das letras. - O número de permutações de
objetos distintos é . - Portanto, para
letras há anagramas possíveis por conjunto.
Passo 7
Multiplicar o número de conjuntos pelo número de anagramas por conjunto para obter o total.
Calculemos:
Passo 8
Resumo do raciocínio (para fixar a técnica que pode ser usada na prova):
- Primeiro escolhe-se quais letras especiais entram (combinações), depois escolhe-se as demais letras entre as restantes (combinações), multiplica-se essas escolhas e por fim multiplica-se pelo número de ordens possíveis (
). Essa separação “escolha de conjunto” seguida de “permutação do conjunto” é uma técnica padrão em problemas de anagramas com restrições.
Resposta
c)