Questão 68. (IFRS). Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenha 2 das letras a, b e c?
a) 1692
b) 1520
c) 1512
d) 1572 .

Passo 1

Vou entender claramente o que o enunciado pede e quais dados ele dá.
  • Dado: as \,10 primeiras letras do alfabeto (ou seja, um conjunto com \,10 letras distintas).
  • Queremos formar anagramas de \,4 letras distintas (ou seja, sequências de comprimento \,4 sem repetição).
  • Condição extra: o anagrama deve conter exatamente \,2 das letras \,a, \,b e \,c.
  • Pergunta: quantos anagramas satisfazem tudo isso?
  • Alternativas:
    a) \,1692
    b) \,1520
    c) \,1512
    d) \,1572

Passo 2

Interpretar corretamente a condição "conter 2 das letras \,a,b,c". Aqui vou assumir que significa “conter exatamente duas (e não três nem uma) das letras \,a, \,b, \,c”. Essa é a interpretação padrão em questões desse tipo.

Passo 3

Escolher quais das letras especiais \,a,b,c serão usadas.
  • Temos \,3 letras em \{a,b,c\} e precisamos escolher \,2 delas.
  • O número de maneiras de escolher \,k objetos dentre \,n sem ordem é dado por \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}, onde \,n! (fatorial) é o produto n\cdot(n-1)\cdots1.
  • Aplicando: \displaystyle \binom{3}{2}=\frac{3!}{2!1!}=3.
Logo, há \,3 escolhas possíveis para quais duas letras entre \,a,b,c entram no anagrama.

Passo 4

Escolher as outras \,2 letras (para completar as \,4 letras) entre as letras que não são \,a,b,c.
  • Das \,10 primeiras letras, \,3 são \,a,b,c, então restam \,10-3=7 letras “comuns” (por exemplo \,d até \,j).
  • Precisamos escolher \,2 dessas \,7.
  • Número de maneiras: \displaystyle \binom{7}{2}=\frac{7!}{2!5!}=21.

Passo 5

Contar quantos conjuntos (isto é, quais conjuntos de 4 letras) atendem à condição.
  • Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de escolhas de um par das especiais e de dois das outras é o produto:
\binom{3}{2}\times\binom{7}{2}=3\times21=63.
  • Então existem \,63 conjuntos distintos de \,4 letras que contêm exatamente duas entre \,a,b,c.

Passo 6

Para cada conjunto de \,4 letras distintas, contar quantos anagramas (ordenações) possíveis existem.
  • Dado um conjunto de \,4 letras distintas, todo anagrama é uma permutação das \,4 letras.
  • O número de permutações de \,n objetos distintos é \,n!.
  • Portanto, para \,4 letras há \,4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24 anagramas possíveis por conjunto.

Passo 7

Multiplicar o número de conjuntos pelo número de anagramas por conjunto para obter o total.
\text{total} = 63 \times 24.
Calculemos:
63\times24 = 63\times(20+4)=63\times20+63\times4=1260+252=1512.

Passo 8

Resumo do raciocínio (para fixar a técnica que pode ser usada na prova):
  • Primeiro escolhe-se quais letras especiais entram (combinações), depois escolhe-se as demais letras entre as restantes (combinações), multiplica-se essas escolhas e por fim multiplica-se pelo número de ordens possíveis ( 4!). Essa separação “escolha de conjunto” seguida de “permutação do conjunto” é uma técnica padrão em problemas de anagramas com restrições.

Resposta

c) \,1512

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