Questão 68. Como aplicação do problema ??, mostre que
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada a função no domínio de Laplace
. - O objetivo é mostrar que a transformada de Laplace inversa dessa função é
Informações relevantes a usar (sem resolver ainda):
- Variável de Laplace:
. Variável de tempo: . - Vou precisar usar propriedades básicas da transformada de Laplace (linearidade, transformadas conhecidas de
e de ) e uma representação integral da função logarítmica que facilita a inversão.
Passo 2
Usar uma representação integral para o logaritmo que facilita manipular a dependência em
.
A identidade útil é, para
,
porque fazendo a mudança de variável
a integral reduz a
. Agora tome
. Então
Passo 3
Escrever a função dada como integral em
e trocar a ordem com a transformada inversa.
Temos
Pela linearidade da transformada de Laplace e condições de troca de integral (a integral é em
num intervalo compacto e o integrando é bem comportado para
grande), pode-se inverter a transformada sob o sinal de integral. Assim
Passo 4
Fazer a decomposição em frações parciais do integrando em
(para
fixo).
Procuramos constantes
tais que
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes em potências de
:
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - termo constante:
.
Portanto
,
,
, e
Passo 5
Aplicar as transformadas inversas conhecidas termo a termo.
Recordando:
-
(função constante 1), -
.
No nosso caso, com parâmetro
, basta notar que
é a transformada de
, pois
é o
. Logo, para cada
fixo,
Passo 6
Voltar à integral em
para obter a expressão intermediária.
Substituindo no integral obtido no Passo 3,
Passo 7
Fazer a mudança de variável adequada para reconhecer a integral desejada.
Faça a substituição
Quando
varia de
a
,
varia de
a
. Agora transforme o integrando:
Portanto a integral vira
Passo 8
Conclusão final e observação sobre convergência.
Juntando os passos anteriores encontramos
onde a integral imprópria no
é convergente porque
quando
. Portanto a igualdade está demonstrada.