Questão 68. Como aplicação do problema ??, mostre que
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s} \ln \left(1+\frac{1}{s^{2}}\right)\right\}=2 \int_{0}^{t} \frac{1-\cos \tau}{\tau} d \tau.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a função no domínio de Laplace \displaystyle \frac{1}{s}\ln\!\left(1+\frac{1}{s^{2}}\right).
  • O objetivo é mostrar que a transformada de Laplace inversa dessa função é
2\int_{0}^{t}\frac{1-\cos \tau}{\tau}\,d\tau.
Informações relevantes a usar (sem resolver ainda):
  • Variável de Laplace: s. Variável de tempo: t.
  • Vou precisar usar propriedades básicas da transformada de Laplace (linearidade, transformadas conhecidas de 1 e de \cos(bt)) e uma representação integral da função logarítmica que facilita a inversão.

Passo 2

Usar uma representação integral para o logaritmo que facilita manipular a dependência em s.
A identidade útil é, para z>-1,
\ln(1+z)=\int_{0}^{1}\frac{z}{1+\lambda z}\,d\lambda,
porque fazendo a mudança de variável w=1+\lambda z a integral reduz a \ln(1+z). Agora tome z=\dfrac{1}{s^{2}}. Então
\ln\!\left(1+\frac{1}{s^{2}}\right) =\int_{0}^{1}\frac{1/s^{2}}{1+\lambda/s^{2}}\,d\lambda =\int_{0}^{1}\frac{1}{s^{2}+\lambda}\,d\lambda.

Passo 3

Escrever a função dada como integral em \lambda e trocar a ordem com a transformada inversa.
Temos
\frac{1}{s}\ln\!\left(1+\frac{1}{s^{2}}\right) =\int_{0}^{1}\frac{1}{s(s^{2}+\lambda)}\,d\lambda.
Pela linearidade da transformada de Laplace e condições de troca de integral (a integral é em \lambda num intervalo compacto e o integrando é bem comportado para \Re s grande), pode-se inverter a transformada sob o sinal de integral. Assim
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\ln\!\left(1+\frac{1}{s^{2}}\right)\right\} =\int_{0}^{1}\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s(s^{2}+\lambda)}\right\}\,d\lambda.

Passo 4

Fazer a decomposição em frações parciais do integrando em s (para \lambda>0 fixo).
Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{1}{s(s^{2}+\lambda)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+\lambda}.
Multiplicando por s(s^{2}+\lambda) obtemos
1 = A(s^{2}+\lambda)+(Bs+C)s = (A+B)s^{2}+Cs+A\lambda.
Comparando coeficientes em potências de s:
  • coeficiente de s^{2}: A+B=0 \Rightarrow B=-A,
  • coeficiente de s: C=0,
  • termo constante: A\lambda=1 \Rightarrow A=\dfrac{1}{\lambda}.
Portanto A=\dfrac{1}{\lambda}, B=-\dfrac{1}{\lambda}, C=0, e
\frac{1}{s(s^{2}+\lambda)}=\frac{1}{\lambda}\left(\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+\lambda}\right).

Passo 5

Aplicar as transformadas inversas conhecidas termo a termo.
Recordando:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1 (função constante 1),
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+b^{2}}\right\}=\cos(bt).
No nosso caso, com parâmetro \lambda\ge 0, basta notar que \dfrac{s}{s^{2}+\lambda} é a transformada de \cos(\sqrt{\lambda}\,t), pois \sqrt{\lambda} é o b. Logo, para cada \lambda fixo,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s(s^{2}+\lambda)}\right\} =\frac{1}{\lambda}\Big(1-\cos(\sqrt{\lambda}\,t)\Big).

Passo 6

Voltar à integral em \lambda para obter a expressão intermediária.
Substituindo no integral obtido no Passo 3,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\ln\!\left(1+\frac{1}{s^{2}}\right)\right\} =\int_{0}^{1}\frac{1-\cos(\sqrt{\lambda}\,t)}{\lambda}\,d\lambda.

Passo 7

Fazer a mudança de variável adequada para reconhecer a integral desejada.
Faça a substituição
u=\sqrt{\lambda}\,t \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{u^{2}}{t^{2}},\qquad d\lambda=\frac{2u}{t^{2}}\,du.
Quando \lambda varia de 0 a 1, u varia de 0 a t. Agora transforme o integrando:
\frac{1}{\lambda}\,d\lambda=\frac{1}{u^{2}/t^{2}}\cdot\frac{2u}{t^{2}}\,du=\frac{2}{u}\,du.
Portanto a integral vira
\int_{0}^{1}\frac{1-\cos(\sqrt{\lambda}\,t)}{\lambda}\,d\lambda =\int_{0}^{t}\big(1-\cos u\big)\,\frac{2}{u}\,du =2\int_{0}^{t}\frac{1-\cos u}{u}\,du.

Passo 8

Conclusão final e observação sobre convergência.
Juntando os passos anteriores encontramos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\ln\!\left(1+\frac{1}{s^{2}}\right)\right\} =2\int_{0}^{t}\frac{1-\cos \tau}{\tau}\,d\tau,
onde a integral imprópria no 0 é convergente porque \dfrac{1-\cos \tau}{\tau}\sim \dfrac{\tau}{2} quando \tau\to 0. Portanto a igualdade está demonstrada.

Resposta

2\displaystyle \int_{0}^{t}\frac{1-\cos \tau}{\tau}\,d\tau

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