Questão 65. Prove a propriedade de translação: Se
então
onde
Como aplicação, calcule
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Provar a propriedade de translação: mostrar que, se
onde
- Aplicar essa propriedade para calcular
Informações dadas (resumindo): há uma função
; há um parâmetro de atraso
(positivo, normalmente); e na aplicação temos
e
.]
Passo 2
Definição conveniente: introduzir a função degrau unitário deslocada
A função buscada pode ser escrita de forma compacta como
Isso deixa explícito que
e
para
.]
Passo 3
Calcular a transformada de Laplace de
. Pela definição da transformada de Laplace,
Como
para
e vale
para
, o integral acima reduz-se a
Passo 4
Mudar variável no integral para eliminar o deslocamento temporal. Seja
. Então quando
temos
, e quando
temos
. Além disso
e
. Substituindo,
Mas a integral
é exatamente
. Logo
Passo 5
Concluir a propriedade usando unicidade da transformada de Laplace: se duas funções têm a mesma transformada de Laplace (na faixa de convergência), então são iguais quase em toda parte. Como mostramos que a função
tem transformada
, segue que
ou, escrito em peça:
Isso prova a propriedade de translação (também chamada de teorema do atraso ou time-shifting).]
Passo 6
Aplicação ao caso
.
Passo intermediário: identificar
. Precisamos da função
tal que
. Recordando uma transformada padrão:
Prova rápida dessa identidade por integração por partes: seja
com
. Então
Fazendo integração por partes (tomando
,
), obtém-se
Logo
. No nosso caso
, então
Assim
.
Passo 7
Aplicando o teorema do atraso com
e
, a inversa pedida é
Escrevendo em forma peça (como no enunciado):