Questão 81. Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDO’s com coeficientes variáveis:
t y^{\prime \prime}+2(t-1) y^{\prime}+(t-2) y=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
t\,y''(t)+2\bigl(t-1\bigr)y'(t)+(t-2)y(t)=0,
sem valores iniciais explícitos. O pedido é: usar a transformada de Laplace para resolver essa EDO e obter a solução geral y(t).
Informações que vamos usar (e que peguei do enunciado):
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de t.
  • Não foram fornecidos y(0) nem y'(0); vou denotá-los por y(0)=y_0 e y'(0)=y_1 quando precisar.
  • Como o coeficiente de y'' é t, a equação é singular em t=0; isso frequentemente impõe uma relação entre y_0 e y_1 que veremos aparecer naturalmente.

Passo 2

Rápida revisão das fórmulas da transformada de Laplace que vamos usar (vou explicar cada uma):
  • Definição: se y(t) for adequada, sua transformada é \;Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s)=\int_0^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt\;.
  • Derivadas: \mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0)=sY(s)-y_0,
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y_0-y_1.
Essas fórmulas vêm de integrar por partes e mostram como condições iniciais entram no domínio de s.
  • Multiplicação por t: \mathcal{L}\{t f(t)\}(s) = -\frac{d}{ds}\bigl(F(s)\bigr),onde F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s). Ou seja, multiplicar pela variável t corresponde a derivar em s com sinal negativo.
Vou aplicar essas regras termo a termo à equação dada.

Passo 3

Aplicar \mathcal{L}\{\cdot\} a cada termo. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s) e lembrando y(0)=y_0,\;y'(0)=y_1:
  1. Para t\,y''(t):
\mathcal{L}\{t y''\} = -\frac{d}{ds}\bigl(\mathcal{L}\{y''\}\bigr) = -\frac{d}{ds}\bigl(s^2Y - s y_0 - y_1\bigr).
Calcule a derivada em s:
\frac{d}{ds}\bigl(s^2Y\bigr)=2sY+s^2Y',\qquad \frac{d}{ds}(-s y_0)=-y_0,\qquad \frac{d}{ds}(-y_1)=0.
Logo
\mathcal{L}\{t y''\} = -\bigl(2sY+s^2Y' - y_0\bigr)= -2sY - s^2Y' + y_0.
  1. Para 2(t-1)y'(t) escrevo 2t y' - 2 y'. Então
\mathcal{L}\{t y'\} = -\frac{d}{ds}\bigl(\mathcal{L}\{y'\}\bigr) = -\frac{d}{ds}\bigl(sY - y_0\bigr) = -\bigl(Y + sY'\bigr).
E
\mathcal{L}\{y'\}=sY-y_0.
Portanto
\mathcal{L}\{2(t-1)y'\}=2\bigl(-Y - sY' - (sY-y_0)\bigr) = -2Y -2sY' -2sY +2y_0.
  1. Para (t-2)y(t) escrevo t y - 2y. Assim
\mathcal{L}\{t y\} = -Y',\qquad \mathcal{L}\{y\}=Y,
então
\mathcal{L}\{(t-2)y\} = -Y' - 2Y.

Passo 4

Somando as transformadas dos três termos e impondo que somem zero (pois a EDO é igual a zero), obtemos
\bigl(-2sY - s^2Y' + y_0\bigr) + \bigl(-2Y -2sY' -2sY +2y_0\bigr) + \bigl(-Y' -2Y\bigr)=0.
Agrupando termos em Y', em Y e os termos constantes:
  • Coeficiente de Y': -s^2 -2s -1 = -(s^2+2s+1)=-(s+1)^2.
  • Coeficiente de Y: -2s -2s -2 -2 = -4s -4 = -4(s+1).
  • Termos constantes: y_0 + 2y_0 = 3y_0.
Logo a equação em s fica
-(s+1)^2 Y' -4(s+1)Y + 3y_0 = 0.
Multiplicando por -1 e dividindo por (s+1)^2 (assumindo s\neq -1), obtemos a EDO linear de primeira ordem para Y(s):
Y' + \frac{4}{s+1}Y = \frac{3y_0}{(s+1)^2}.

Passo 5

Resolver a EDO em Y(s). É uma EDO linear do tipo Y' + p(s)Y = q(s) com p(s)=4/(s+1). A fator integrante é
\mu(s)=\exp\!\left(\int \frac{4}{s+1}\,ds\right)=\exp\bigl(4\ln|s+1|\bigr)=(s+1)^4.
Multiplicando a equação por (s+1)^4 obtemos
\frac{d}{ds}\bigl((s+1)^4 Y\bigr) = 3y_0 (s+1)^2.
Integro em s:
(s+1)^4 Y = 3y_0\int (s+1)^2\,ds + C = 3y_0\cdot\frac{(s+1)^3}{3} + C = y_0 (s+1)^3 + C,
onde C é constante de integração (constante em s). Portanto
Y(s) = \frac{y_0}{s+1} + \frac{C}{(s+1)^4}.

Passo 6

Inverter a transformada para achar y(t). Usando transformadas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^4}\right\}=\frac{t^3}{3!}e^{-t}=\frac{t^3}{6}e^{-t}.
Assim
y(t) = y_0 e^{-t} + C\cdot\frac{t^3}{6}e^{-t}.
Podemos reescrever com constantes arbitrárias mais convencionais: seja C_1=y_0 e C_2=C/6. Então a solução geral fica
y(t)=e^{-t}\bigl(C_1 + C_2 t^3\bigr),
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.
Observação sobre as condições iniciais: avaliando a EDO em t=0 (onde o termo t y'' some) dá -2y'(0)-2y(0)=0, ou seja y_1=-y_0. Isso aparece também ao derivar a solução encontrada e avaliar em t=0: y'(0)=-y_0. Portanto y_0 e y_1 não são independentes por causa da singularidade em t=0; a solução geral ainda tem duas constantes livres C_1 e C_2.

Resposta

y(t)=e^{-t}\bigl(C_1 + C_2 t^3\bigr),
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados