Questão 81. Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDO’s com coeficientes variáveis:
;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
sem valores iniciais explícitos. O pedido é: usar a transformada de Laplace para resolver essa EDO e obter a solução geral
.
Informações que vamos usar (e que peguei do enunciado):
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. - Não foram fornecidos
nem ; vou denotá-los por e quando precisar. - Como o coeficiente de
é , a equação é singular em ; isso frequentemente impõe uma relação entre e que veremos aparecer naturalmente.
Passo 2
Rápida revisão das fórmulas da transformada de Laplace que vamos usar (vou explicar cada uma):
- Definição: se
for adequada, sua transformada é . - Derivadas:
Essas fórmulas vêm de integrar por partes e mostram como condições iniciais entram no domínio de
.
- Multiplicação por
: onde . Ou seja, multiplicar pela variável corresponde a derivar em com sinal negativo.
Vou aplicar essas regras termo a termo à equação dada.
Passo 3
Aplicar
a cada termo. Denotando
e lembrando
:
- Para
:
Calcule a derivada em
:
Logo
- Para
escrevo . Então
E
Portanto
- Para
escrevo . Assim
então
Passo 4
Somando as transformadas dos três termos e impondo que somem zero (pois a EDO é igual a zero), obtemos
Agrupando termos em
, em
e os termos constantes:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termos constantes:
.
Logo a equação em
fica
Multiplicando por
e dividindo por
(assumindo
), obtemos a EDO linear de primeira ordem para
:
Passo 5
Resolver a EDO em
. É uma EDO linear do tipo
com
. A fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
Integro em
:
onde
é constante de integração (constante em
). Portanto
Passo 6
Inverter a transformada para achar
. Usando transformadas conhecidas:
Assim
Podemos reescrever com constantes arbitrárias mais convencionais: seja
e
. Então a solução geral fica
com
constantes arbitrárias.
Observação sobre as condições iniciais: avaliando a EDO em
(onde o termo
some) dá
, ou seja
. Isso aparece também ao derivar a solução encontrada e avaliar em
:
. Portanto
e
não são independentes por causa da singularidade em
; a solução geral ainda tem duas constantes livres
e
.
Resposta
com
constantes arbitrárias.