Questão 69. Uma loja oferece duas opções de pagamento:
i) à vista com 30 \% de desconto.
ii) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira prestação sendo paga no ato da compra.

Passo 1

O enunciado dá duas opções de pagamento para um mesmo preço de etiqueta. As informações são:
  • Opção (i): pagamento à vista com 30\% de desconto.
  • Opção (ii): pagamento em duas prestações mensais iguais, sem desconto, sendo a primeira prestação paga no ato da compra e a segunda daqui a um mês.
O que vamos responder (as perguntas que o enunciado implica):
  • Qual é o valor pago em cada opção em função do preço de etiqueta?
  • Qual opção é melhor para o comprador (comparação simples)?
  • Qual é a taxa de juros mensal implícita na opção (ii) que torna as duas opções equivalentes em valor presente?

Passo 2

Definimos uma variável para trabalhar com as contas de forma clara.
  • Seja P o preço de etiqueta do produto (antes de qualquer desconto). Sempre que eu escrever P estou me referindo a esse preço original.
Agora vamos calcular quanto se paga na opção (i).

Passo 3

Cálculo do pagamento à vista com desconto:
  • Um desconto de 30\% significa que o comprador paga 100\% - 30\% = 70\% do preço P.
  • Em matemática: o valor pago à vista é
P_{\text{à vista}} = P\,(1-0,3) = 0,7P.à
Explicação breve do conceito usado: desconto em porcentagem significa multiplicar o preço por 1 - \text{taxa de desconto}. Aqui a taxa é 0,3 (que corresponde a 30\%).

Passo 4

Cálculo das prestações na opção (ii):
  • São duas prestações mensais iguais sem desconto. Logo cada prestação vale \tfrac{P}{2}.
  • A primeira prestação, de \tfrac{P}{2}, é paga imediatamente (no ato).
  • A segunda prestação, também de \tfrac{P}{2}, é paga daqui a um mês.
  • O custo nominal total pago ao longo do tempo é
P_{\text{parcelado (nominal)}} = \frac{P}{2} + \frac{P}{2} = P.
Observação: nominalmente o parcelamento custa mais ( P) do que o pagamento à vista com desconto ( 0,7P). Mas como a segunda parcela é paga depois, precisamos pensar em valor presente para comparar corretamente.

Passo 5

Introdução do conceito de valor presente e taxa de juros mensal:
  • Quando um pagamento acontece no futuro, seu valor no presente depende da taxa de juros (ou da taxa de desconto). Para trazer um valor futuro X para o presente com taxa de juros mensal i, usamos a fórmula
\text{valor presente de } X = \frac{X}{1+i}.
Aqui i é a taxa de juros mensal (por exemplo, i=0,10 significa 10\% ao mês). A interpretação: se eu pudesse aplicar dinheiro a i ao mês, \frac{X}{1+i} hoje investido se transformaria em X daqui a um mês.

Passo 6

Expressar o valor presente da opção (ii) em função de i e igualar ao pagamento à vista para achar a taxa implícita:
  • Valor presente da opção (ii):
    • primeira parcela já paga agora: \dfrac{P}{2} (não precisa descontar).
    • segunda parcela daqui a um mês: valor presente \dfrac{P/2}{1+i} = \dfrac{P}{2(1+i)}.
    • portanto
PV_{\text{parcelado}} = \frac{P}{2} + \frac{P}{2(1+i)}.
  • Queremos achar a taxa mensal i que faz com que esse valor presente seja igual ao pagamento à vista 0,7P. Assim montamos a equação
\frac{P}{2} + \frac{P}{2(1+i)} = 0,7P.

Passo 7

Resolver a equação para i passo a passo:
  • Primeiro, podemos simplificar dividindo ambos os lados por P/2 (isso é válido porque P>0):
1 + \frac{1}{1+i} = \frac{0,7P}{P/2} = 1{,}4.
  • Subtraindo 1 de ambos os lados:
\frac{1}{1+i} = 1{,}4 - 1 = 0{,}4.
  • Invertendo os dois lados para achar 1+i:
1+i = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5.
  • Portanto
i = 2{,}5 - 1 = 1{,}5.
  • Em porcentagem, i = 1{,}5 = 150\% ao mês.
Interpretação intermediária: uma taxa mensal de 150\% é a taxa que faz com que o valor presente das duas parcelas (uma agora e outra daqui a um mês) seja igual ao pagamento à vista com 30\% de desconto.

Passo 8

Exemplo numérico para fixar a ideia (use um número fácil):
  • Tome P=100.
  • Opção (i): pagar à vista = 0,7P = 0,7\cdot 100 = 70.
  • Opção (ii): prestações =50 agora e 50 daqui a um mês. Nominalmente paga-se 100.
  • Se a taxa mensal fosse i=150\%, o valor presente da segunda parcela é \dfrac{50}{1+1{,}5}=\dfrac{50}{2{,}5}=20. Então o PV total do parcelado é 50+20=70, exatamente igual ao pagamento à vista. Isso confirma o cálculo anterior.
  • Se a taxa real do mercado for muito menor (por exemplo, i=0\% ou i=1\% ao mês), o valor presente do parcelado será maior que 70, então a opção à vista continua sendo a melhor para o comprador.

Passo 9

Conclusão prática e recomendação (tom amigo):
  • Na prática, como poucas pessoas conseguem aplicar dinheiro a 150\% ao mês (essa é uma taxa absurdamente alta), a opção (i) — pagar à vista com 30\% de desconto — é quase sempre a melhor para o comprador. A loja só “perde” dessa forma se o comprador realmente pudesse investir o dinheiro a mais de 150\% ao mês antes de pagar a segunda parcela, o que não é realista.
  • Resumindo: pagar à vista sai bem mais barato; o parcelamento só é vantajoso se você tiver uma alternativa de investimento com rendimento superior a 150\% ao mês (o que normalmente não acontece).

Resposta

Opção (i): paga-se 0,7P.
Opção (ii): paga-se nominalmente P em duas parcelas de \tfrac{P}{2} (uma agora e outra em 1 mês).
Taxa mensal implícita que iguala as duas opções: i=1,5 ou 150\% ao mês.

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