Questão 69. Uma loja oferece duas opções de pagamento:
i) à vista com
de desconto.
ii) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira prestação sendo paga no ato da compra.
i) à vista com
ii) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira prestação sendo paga no ato da compra.
Passo 1
O enunciado dá duas opções de pagamento para um mesmo preço de etiqueta. As informações são:
- Opção (i): pagamento à vista com
de desconto. - Opção (ii): pagamento em duas prestações mensais iguais, sem desconto, sendo a primeira prestação paga no ato da compra e a segunda daqui a um mês.
O que vamos responder (as perguntas que o enunciado implica):
- Qual é o valor pago em cada opção em função do preço de etiqueta?
- Qual opção é melhor para o comprador (comparação simples)?
- Qual é a taxa de juros mensal implícita na opção (ii) que torna as duas opções equivalentes em valor presente?
Passo 2
Definimos uma variável para trabalhar com as contas de forma clara.
- Seja
o preço de etiqueta do produto (antes de qualquer desconto). Sempre que eu escrever estou me referindo a esse preço original.
Agora vamos calcular quanto se paga na opção (i).
Passo 3
Cálculo do pagamento à vista com desconto:
- Um desconto de
significa que o comprador paga do preço . - Em matemática: o valor pago à vista é
Explicação breve do conceito usado: desconto em porcentagem significa multiplicar o preço por
. Aqui a taxa é
(que corresponde a
).
Passo 4
Cálculo das prestações na opção (ii):
- São duas prestações mensais iguais sem desconto. Logo cada prestação vale
. - A primeira prestação, de
, é paga imediatamente (no ato). - A segunda prestação, também de
, é paga daqui a um mês. - O custo nominal total pago ao longo do tempo é
Observação: nominalmente o parcelamento custa mais (
) do que o pagamento à vista com desconto (
). Mas como a segunda parcela é paga depois, precisamos pensar em valor presente para comparar corretamente.
Passo 5
Introdução do conceito de valor presente e taxa de juros mensal:
- Quando um pagamento acontece no futuro, seu valor no presente depende da taxa de juros (ou da taxa de desconto). Para trazer um valor futuro
para o presente com taxa de juros mensal , usamos a fórmula
Aqui
é a taxa de juros mensal (por exemplo,
significa
ao mês). A interpretação: se eu pudesse aplicar dinheiro a
ao mês,
hoje investido se transformaria em
daqui a um mês.
Passo 6
Expressar o valor presente da opção (ii) em função de
e igualar ao pagamento à vista para achar a taxa implícita:
- Valor presente da opção (ii):
- primeira parcela já paga agora:
(não precisa descontar). - segunda parcela daqui a um mês: valor presente
. - portanto
- primeira parcela já paga agora:
- Queremos achar a taxa mensal
que faz com que esse valor presente seja igual ao pagamento à vista . Assim montamos a equação
Passo 7
Resolver a equação para
passo a passo:
- Primeiro, podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(isso é válido porque ):
- Subtraindo
de ambos os lados:
- Invertendo os dois lados para achar
:
- Portanto
- Em porcentagem,
ao mês.
Interpretação intermediária: uma taxa mensal de
é a taxa que faz com que o valor presente das duas parcelas (uma agora e outra daqui a um mês) seja igual ao pagamento à vista com
de desconto.
Passo 8
Exemplo numérico para fixar a ideia (use um número fácil):
- Tome
. - Opção (i): pagar à vista =
. - Opção (ii): prestações
agora e daqui a um mês. Nominalmente paga-se . - Se a taxa mensal fosse
, o valor presente da segunda parcela é . Então o PV total do parcelado é , exatamente igual ao pagamento à vista. Isso confirma o cálculo anterior. - Se a taxa real do mercado for muito menor (por exemplo,
ou ao mês), o valor presente do parcelado será maior que , então a opção à vista continua sendo a melhor para o comprador.
Passo 9
Conclusão prática e recomendação (tom amigo):
- Na prática, como poucas pessoas conseguem aplicar dinheiro a
ao mês (essa é uma taxa absurdamente alta), a opção (i) — pagar à vista com de desconto — é quase sempre a melhor para o comprador. A loja só “perde” dessa forma se o comprador realmente pudesse investir o dinheiro a mais de ao mês antes de pagar a segunda parcela, o que não é realista. - Resumindo: pagar à vista sai bem mais barato; o parcelamento só é vantajoso se você tiver uma alternativa de investimento com rendimento superior a
ao mês (o que normalmente não acontece).
Resposta
Opção (i): paga-se
.
Opção (ii): paga-se nominalmente em duas parcelas de
(uma agora e outra em 1 mês).
Taxa mensal implícita que iguala as duas opções: ou
ao mês.
Opção (ii): paga-se nominalmente
Taxa mensal implícita que iguala as duas opções: