Questão 70. Verônica investe a juros de 6 \% a.a com capitalização mensal. Qual a taxa anual de juros à qual está investido o capital de verônica?

Passo 1

O enunciado diz que Verônica investe a juros de 6\% ao ano com capitalização mensal. A pergunta é: qual é a taxa anual efetiva (ou seja, a taxa anual real que o capital de Verônica está rendendo) considerando essa capitalização mensal?
Informações dadas:
\;1. Taxa nominal anual: 6\% ao ano.
\;2. Capitalização: mensal (ou seja, 12 períodos de capitalização por ano).
O que se pede: encontrar a taxa anual efetiva correspondente.

Passo 2

Vou explicar o conceito importante: quando uma taxa é dada “ao ano” com capitalização mais frequente (mensal, no caso), temos uma taxa nominal anual que não é a mesma que a taxa efetiva anual. Para converter usamos estas ideias:
  • Seja r_{nom} a taxa nominal anual (aqui r_{nom}=0{,}06).
  • Se a capitalização é mensal, o número de períodos por ano é m=12.
  • A taxa de juro por período (mensal) é
i_m=\frac{r_{nom}}{m}.
Essa é a taxa que realmente se aplica a cada mês.
  • A taxa anual efetiva (vou chamar de i_{ef}) é o rendimento acumulado em um ano quando juros são capitalizados a cada período:
i_{ef}=(1+i_m)^m-1.
Aqui i_m é a taxa por mês e m é o número de meses por ano. Essa fórmula vem do fato de que aplicamos juros m vezes no ano, multiplicando o capital por 1+i_m em cada período.

Passo 3

Calcular a taxa mensal i_m. Usando a fórmula i_m=\dfrac{r_{nom}}{m}, com r_{nom}=0{,}06 e m=12:
i_m=\frac{0{,}06}{12}=0{,}005.
Interpretação: a cada mês o capital cresce 0{,}5\%.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da taxa anual efetiva:
i_{ef}=(1+i_m)^{12}-1.
Substituindo i_m=0{,}005:
i_{ef}=(1{,}005)^{12}-1.
Explico o que cada termo significa: 1{,}005 é o fator de crescimento em um mês; elevando à 12ª potência obtemos o fator de crescimento em 12 meses (um ano). Subtrair 1 dá só a taxa de crescimento (sem o capital inicial).

Passo 5

Vamos calcular (1{,}005)^{12} passo a passo, fazendo multiplicações sucessivas (isso é útil na prova se você não tiver uma fórmula pronta ou quiser entender o processo). Vou mostrar as potências intermediárias:
(1{,}005)^2=1{,}010025,
(1{,}005)^3=1{,}015075125,
(1{,}005)^4=1{,}020150500625,
(1{,}005)^5=1{,}025251253128125,
(1{,}005)^6=1{,}0303775093937656,
(1{,}005)^7=1{,}0355293969407324,
(1{,}005)^8=1{,}0407070439254361,
(1{,}005)^9=1{,}0459105791440634,
(1{,}005)^{10}=1{,}0511401320397848,
(1{,}005)^{11}=1{,}0563958327009837,
(1{,}005)^{12}=1{,}0616778118644886.
(Os números acima foram obtidos multiplicando sucessivamente por 1{,}005.)

Passo 6

Agora retiramos 1 para obter a taxa efetiva anual:
i_{ef}=1{,}0616778118644886-1=0{,}0616778118644886.
Convertendo para porcentagem:
i_{ef}=0{,}0616778118644886\times100\%=6{,}16778118644886\%.
Na prática, arredondamos para uma forma razoável. Arredondando para três casas decimais na porcentagem:
i_{ef}\approx6{,}168\%.

Resposta

6{,}168\%

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