Questão 70. Verônica investe a juros de
a.a com capitalização mensal. Qual a taxa anual de juros à qual está investido o capital de verônica?
Passo 1
O enunciado diz que Verônica investe a juros de
ao ano com capitalização mensal. A pergunta é: qual é a taxa anual efetiva (ou seja, a taxa anual real que o capital de Verônica está rendendo) considerando essa capitalização mensal?
Informações dadas:
Taxa nominal anual:
ao ano.
Capitalização: mensal (ou seja,
períodos de capitalização por ano).
O que se pede: encontrar a taxa anual efetiva correspondente.
Informações dadas:
O que se pede: encontrar a taxa anual efetiva correspondente.
Passo 2
Vou explicar o conceito importante: quando uma taxa é dada “ao ano” com capitalização mais frequente (mensal, no caso), temos uma taxa nominal anual que não é a mesma que a taxa efetiva anual. Para converter usamos estas ideias:
- Seja
a taxa nominal anual (aqui ). - Se a capitalização é mensal, o número de períodos por ano é
. - A taxa de juro por período (mensal) é
Essa é a taxa que realmente se aplica a cada mês.
- A taxa anual efetiva (vou chamar de
) é o rendimento acumulado em um ano quando juros são capitalizados a cada período:
Aqui
é a taxa por mês e
é o número de meses por ano. Essa fórmula vem do fato de que aplicamos juros
vezes no ano, multiplicando o capital por
em cada período.
Passo 3
Calcular a taxa mensal
. Usando a fórmula
, com
e
:
Interpretação: a cada mês o capital cresce
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da taxa anual efetiva:
Substituindo
:
Explico o que cada termo significa:
é o fator de crescimento em um mês; elevando à
ª potência obtemos o fator de crescimento em
meses (um ano). Subtrair
dá só a taxa de crescimento (sem o capital inicial).
Passo 5
Vamos calcular
passo a passo, fazendo multiplicações sucessivas (isso é útil na prova se você não tiver uma fórmula pronta ou quiser entender o processo). Vou mostrar as potências intermediárias:
(Os números acima foram obtidos multiplicando sucessivamente por
.)
Passo 6
Agora retiramos
para obter a taxa efetiva anual:
Convertendo para porcentagem:
Na prática, arredondamos para uma forma razoável. Arredondando para três casas decimais na porcentagem: