Questão 71. Um bem, cujo preço à vista é
120,00
8 %$ a.m, determine o valor das prestações.
Passo 1
Dados do enunciado e o que se pede:\n
- Preço à vista do bem:
.\n - Venda em
prestações mensais iguais.\n - A primeira prestação é paga
mês após a compra (ou seja, as prestações ocorrem nos meses ).\n - Taxa de juros:
ao mês, ou seja .\n
Pergunta: determinar o valor de cada prestação (um único valor, pois são iguais).
Passo 2
Vamos traduzir matematicamente a situação deixando tudo bem claro.\n
Seja o valor de cada prestação. Cada prestação paga no mês
tem valor presente (no momento da compra) igual a
Seja
porque para trazer um valor futuro ao valor presente dividimos por
(esse processo chama-se desconto composto). Aqui
é a taxa mensal.\n
O preço à vista ( ) é exatamente a soma dos valores presentes das
prestações. Logo a equação que traduz o problema é
O preço à vista (
Passo 3
Agora vamos manipular a soma para isolar
. Primeiro simplificamos a notação definindo
logo a soma fica
A soma
é uma progressão geométrica. A fórmula da soma dos
primeiros termos de uma PG com razão
(quando
) é
Aplicando isso com
obtemos
Agora transformamos essa expressão para a forma clássica do fator de anuidade. Observe que
e também que
. Substituindo,
Portanto a soma vale
e a equação para
fica
Isolando
:
Aqui:
-
é a taxa mensal,\n -
,\n -
.
Passo 4
Vamos calcular numericamente os componentes passo a passo (mostrando contas que você consegue fazer pela multiplicação sucessiva).\n
Primeiro calculemos para
(multiplicações em cadeia):
Primeiro calculemos
Portanto
(Usei a recíproca de
; se fizer à mão, pode fazer a divisão
por aproximação sucessiva.)
Passo 5
Calcule agora
e a razão
:\n
Com
,
Finalmente
Arredondando para centavos (duas casas decimais), cada prestação vale aproximadamente
.
Passo 6
Interpretação final e dica para prova:\n
- A ideia-chave é reconhecer que o preço à vista é o valor presente de uma anuidade de
parcelas e usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica para obter a expressão de .\n - Fórmulas úteis para decorar: para taxa
e parcelas iguais pagas a partir do mês 1,
e daí
.\n
- Na prova, calcule
por multiplicações sucessivas (como fiz no Passo 4) e depois faça a divisão para obter .