Questão 71. Um bem, cujo preço à vista é \mathrm{R} \ 120,00 , é vendido em 8 prestações mensais iguais, a primeira sendo paga um mês após a compra. Se os juros são deéçõêóã8 %$ a.m, determine o valor das prestações.

Passo 1

Dados do enunciado e o que se pede:\n
  • Preço à vista do bem: \text{R\$ }120{,}00.\n
  • Venda em 8 prestações mensais iguais.\n
  • A primeira prestação é paga 1 mês após a compra (ou seja, as prestações ocorrem nos meses 1,2,\dots,8).\n
  • Taxa de juros: 8\% ao mês, ou seja i=0{,}08.\n
    Pergunta: determinar o valor de cada prestação (um único valor, pois são iguais).

Passo 2

Vamos traduzir matematicamente a situação deixando tudo bem claro.\n
Seja X o valor de cada prestação. Cada prestação paga no mês k tem valor presente (no momento da compra) igual a
\frac{X}{(1+i)^k},
porque para trazer um valor futuro ao valor presente dividimos por (1+i)^k (esse processo chama-se desconto composto). Aqui i é a taxa mensal.\n
O preço à vista ( \text{R\$ }120{,}00) é exatamente a soma dos valores presentes das 8 prestações. Logo a equação que traduz o problema é
120=\sum_{k=1}^{8}\frac{X}{(1+i)^k}.

Passo 3

Agora vamos manipular a soma para isolar X. Primeiro simplificamos a notação definindo
v=\frac{1}{1+i}=(1+i)^{-1},
logo a soma fica
120 = X\,(v+v^{2}+\cdots+v^{8}).
A soma v+v^{2}+\cdots+v^{n} é uma progressão geométrica. A fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG com razão v (quando v\neq1) é
v+v^{2}+\cdots+v^{n}=v\frac{1-v^{n}}{1-v}.
Aplicando isso com n=8 obtemos
120 = X\cdot v\frac{1-v^{8}}{1-v}.
Agora transformamos essa expressão para a forma clássica do fator de anuidade. Observe que
1-v=1-\frac{1}{1+i}=\frac{i}{1+i},
e também que v(1+i)=1. Substituindo,
v\frac{1-v^{8}}{1-v}=\frac{1-v^{8}}{i}.
Portanto a soma vale \dfrac{1-v^{8}}{i} e a equação para X fica
120 = X\cdot \frac{1-v^{8}}{i}.
Isolando X:
X = 120\cdot \frac{i}{1-v^{8}}.
Aqui:
  • i=0{,}08 é a taxa mensal,\n
  • v=(1+i)^{-1}=(1{,}08)^{-1},\n
  • v^{8}=(1{,}08)^{-8}.

Passo 4

Vamos calcular numericamente os componentes passo a passo (mostrando contas que você consegue fazer pela multiplicação sucessiva).\n
Primeiro calculemos (1{,}08)^k para k=1,\dots,8 (multiplicações em cadeia):
\begin{aligned} (1{,}08)^1&=1{,}08,\\\ (1{,}08)^2&=1{,}1664,\\\ (1{,}08)^3&=1{,}259712,\\\ (1{,}08)^4&=1{,}36048896,\\\ (1{,}08)^5&=1{,}4693280768,\\\ (1{,}08)^6&=1{,}586874322944,\\\ (1{,}08)^7&=1{,}71382426877952,\\\ (1{,}08)^8&=1{,}8509302102818816. \end{aligned}
Portanto
v^{8}=(1{,}08)^{-8}=\frac{1}{1{,}8509302102818816}\approx 0{,}540268989.
(Usei a recíproca de (1{,}08)^8; se fizer à mão, pode fazer a divisão 1\div 1{,}85093021 por aproximação sucessiva.)

Passo 5

Calcule agora 1-v^{8} e a razão \dfrac{i}{1-v^{8}}:\n
1-v^{8}\approx 1-0{,}540268989=0{,}459731011.
Com i=0{,}08,
\frac{i}{1-v^{8}}=\frac{0{,}08}{0{,}459731011}\approx 0{,}174014680.
Finalmente
X = 120\cdot 0{,}174014680\approx 20{,}8817616.
Arredondando para centavos (duas casas decimais), cada prestação vale aproximadamente \text{R\$ }20{,}88.

Passo 6

Interpretação final e dica para prova:\n
  • A ideia-chave é reconhecer que o preço à vista é o valor presente de uma anuidade de 8 parcelas e usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica para obter a expressão de X.\n
  • Fórmulas úteis para decorar: para taxa i e n parcelas iguais X pagas a partir do mês 1,
\text{PV} = X\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i},
e daí X=\text{PV}\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.\n
  • Na prova, calcule (1+i)^n por multiplicações sucessivas (como fiz no Passo 4) e depois faça a divisão para obter (1+i)^{-n}.

Resposta

\text{R\$ }20{,}88

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