Faça o gráfico de cada função abaixo:
f(x)=\sqrt{|x+3|}

Passo 1

O enunciado pede: "Faça o gráfico da função f(x)=\sqrt{|x+3|}".
Informações dadas e o que a pergunta quer: temos a expressão da função f em termos de x. A tarefa é representar graficamente essa função — ou seja, saber como ela se comporta (domínio, variação, pontos importantes) e desenhar suas curvas no plano. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Entender a expressão: temos uma raiz quadrada de um valor absoluto. Vou explicar cada parte devagarinho.
  • O valor absoluto |x+3| sempre é não negativo, isto é, |x+3|\ge 0 para todo x.
  • A raiz quadrada \sqrt{\cdot} está definida apenas para argumentos não negativos. Como o argumento já é |x+3|\ge0, a função está definida para todos os x.
    Conclusão imediata sobre o domínio: o domínio é todo o conjunto dos números reais, isto é, (-\infty,\infty).

Passo 3

Reescrever a função em forma piecewise (em duas partes) para entender melhor como traçar cada ramo. Lembre-se da definição do valor absoluto:
|x+3| = \begin{cases} x+3, & \text{se } x+3\ge 0 \\ (\text{i.e. } x\ge -3),\\[4pt] -(x+3), & \text{se } x+3<0 \\ (\text{i.e. } x< -3). \end{cases}
Assim,
f(x)=\sqrt{|x+3|} = \begin{cases} \sqrt{x+3}, & x\ge -3,\\[4pt] \sqrt{-(x+3)} = \sqrt{-x-3}, & x< -3. \end{cases}
Essa reescrita mostra que a função é composta por duas “raízes quadradas” que se encontram em x=-3.]

Passo 4

Achar pontos-chave para plotagem (faça esses pontos no caderno):
  • Em x=-3 temos |-3+3|=0 então f(-3)=0. Logo o gráfico passa por (-3,0). É o “vértice” (o ponto onde as duas partes se unem).
  • Para x\ge -3 (ramo à direita): calcule alguns valores simples:
    x=-3 \Rightarrow f(-3)=0.
    x=-2 \Rightarrow f(-2)=\sqrt{|-2+3|}=\sqrt{1}=1.
    x=-1 \Rightarrow f(-1)=\sqrt{2}.
    x=0 \Rightarrow f(0)=\sqrt{3}.
  • Para x<-3 (ramo à esquerda): por simetria dos cálculos com valor absoluto, o valor em x=-4 é o mesmo que em x=-2:
    x=-4 \Rightarrow f(-4)=\sqrt{|-4+3|}=\sqrt{1}=1.
    x=-5 \Rightarrow f(-5)=\sqrt{2}.
    Observação: isso já sugere simetria horizontal em torno de x=-3: deslocamentos iguais para a direita e para a esquerda de -3 geram a mesma altura.

Passo 5

Descrever a forma do gráfico com base nas fórmulas das duas partes:
  • Para x\ge -3 a função é f(x)=\sqrt{x+3}. Essa é a típica curva de raiz quadrada: começa em 0 (quando x=-3) e cresce lentamente conforme x aumenta. A derivada (pendente) próxima a -3 tende a +\infty (a curva tem “vertical tangente” à direita do vértice).
  • Para x< -3 a função é f(x)=\sqrt{-x-3}. Reescrevendo com u=-x, percebe-se que é também uma raiz quadrada que cresce quando x se distancia negativamente de -3. A derivada à esquerda de -3 tende a -\infty (a curva sobe ao afastar-se para a esquerda, com tangente vertical apontando para cima à esquerda).
    Portanto, o gráfico tem duas “ramificações de raiz quadrada” que se unem em (-3,0), formando um tipo de “V arredondado” com ponta aguda (não é uma V linear, mas tem um vértice com comportamento singular).

Passo 6

Propriedades importantes que ajudam na prova/interpretar o gráfico:
  • Domínio: (-\infty,\infty) (já vimos).
  • Contradomínio / imagem (range): [0,\infty), porque \sqrt{\cdot} é sempre \ge 0.
  • Interceptos: intercepto em y é f(0)=\sqrt{3}. Intercepto em x é x=-3 (único ponto onde f(x)=0).
  • Continuidade: a função é contínua em todo \mathbb{R} (os dois ramos coincidem em -3 com valor 0).
  • Diferenciabilidade: não é diferenciável em x=-3 porque a derivada lateral direita \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x+3}} tende a +\infty e a lateral esquerda \displaystyle -\frac{1}{2\sqrt{-x-3}} tende a -\infty. Logo há um canto vertical no vértice.

Passo 7

Instruções práticas para desenhar o gráfico à mão (passo a passo):
  1. Desenha os eixos e marca o ponto x=-3 no eixo x.
  2. Plota o ponto (-3,0) (o vértice).
  3. Plota os pontos do passo 4: por exemplo (-2,1), (-1,\sqrt{2}), (0,\sqrt{3}) à direita; e (-4,1), (-5,\sqrt{2}) à esquerda.
  4. Ligue suavemente os pontos à direita com a curva dada por y=\sqrt{x+3} (começando em (-3,0) e subindo devagar para a direita).
  5. Ligue suavemente os pontos à esquerda com a curva dada por y=\sqrt{-x-3} (começando em (-3,0) e subindo devagar para a esquerda).
  6. Observe que as duas curvas se encontram suavemente em altura, mas formam um vértice onde a tangente é vertical — desenhe com cuidado (não é uma linha reta).

Passo 8

Resumo verbal final para o desenho: o gráfico é simétrico em relação à reta vertical x=-3; tem seu mínimo global em (-3,0); sobe para a direita como \sqrt{x+3} e sobe para a esquerda como \sqrt{-x-3}; imagem [0,\infty).

Resposta

f(x)=\sqrt{|x+3|}=\begin{cases} \sqrt{x+3}, & x\ge -3,\\[4pt] \sqrt{-x-3}, & x< -3, \end{cases}
Domínio: (-\infty,\infty)
Contra-domínio (imagem): [0,\infty)
Interceptos: x-intercepto em (-3,0); y-intercepto em (0,\sqrt{3})
Forma do gráfico: duas ramificações de raiz quadrada unidas em (-3,0), simétricas em relação à reta x=-3, contínua em \mathbb{R} e não diferenciável em x=-3.]

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