Faça o gráfico de cada função abaixo: f(x)=\sqrt{|x+3|}
Passo 1
O enunciado pede: "Faça o gráfico da função f(x)=\sqrt{|x+3|}".
Informações dadas e o que a pergunta quer: temos a expressão da função f em termos de x. A tarefa é representar graficamente essa função — ou seja, saber como ela se comporta (domínio, variação, pontos importantes) e desenhar suas curvas no plano. Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Entender a expressão: temos uma raiz quadrada de um valor absoluto. Vou explicar cada parte devagarinho.
O valor absoluto |x+3| sempre é não negativo, isto é, |x+3|\ge 0 para todo x.
A raiz quadrada \sqrt{\cdot} está definida apenas para argumentos não negativos. Como o argumento já é |x+3|\ge0, a função está definida para todos os x.
Conclusão imediata sobre o domínio: o domínio é todo o conjunto dos números reais, isto é, (-\infty,\infty).
Passo 3
Reescrever a função em forma piecewise (em duas partes) para entender melhor como traçar cada ramo. Lembre-se da definição do valor absoluto:
Essa reescrita mostra que a função é composta por duas “raízes quadradas” que se encontram em x=-3.]
Passo 4
Achar pontos-chave para plotagem (faça esses pontos no caderno):
Em x=-3 temos |-3+3|=0 então f(-3)=0. Logo o gráfico passa por (-3,0). É o “vértice” (o ponto onde as duas partes se unem).
Para x\ge -3 (ramo à direita): calcule alguns valores simples: x=-3 \Rightarrow f(-3)=0. x=-2 \Rightarrow f(-2)=\sqrt{|-2+3|}=\sqrt{1}=1. x=-1 \Rightarrow f(-1)=\sqrt{2}. x=0 \Rightarrow f(0)=\sqrt{3}.
Para x<-3 (ramo à esquerda): por simetria dos cálculos com valor absoluto, o valor em x=-4 é o mesmo que em x=-2: x=-4 \Rightarrow f(-4)=\sqrt{|-4+3|}=\sqrt{1}=1. x=-5 \Rightarrow f(-5)=\sqrt{2}.
Observação: isso já sugere simetria horizontal em torno de x=-3: deslocamentos iguais para a direita e para a esquerda de -3 geram a mesma altura.
Passo 5
Descrever a forma do gráfico com base nas fórmulas das duas partes:
Para x\ge -3 a função é f(x)=\sqrt{x+3}. Essa é a típica curva de raiz quadrada: começa em 0 (quando x=-3) e cresce lentamente conforme x aumenta. A derivada (pendente) próxima a -3 tende a +\infty (a curva tem “vertical tangente” à direita do vértice).
Para x< -3 a função é f(x)=\sqrt{-x-3}. Reescrevendo com u=-x, percebe-se que é também uma raiz quadrada que cresce quando x se distancia negativamente de -3. A derivada à esquerda de -3 tende a -\infty (a curva sobe ao afastar-se para a esquerda, com tangente vertical apontando para cima à esquerda).
Portanto, o gráfico tem duas “ramificações de raiz quadrada” que se unem em (-3,0), formando um tipo de “V arredondado” com ponta aguda (não é uma V linear, mas tem um vértice com comportamento singular).
Passo 6
Propriedades importantes que ajudam na prova/interpretar o gráfico:
Domínio: (-\infty,\infty) (já vimos).
Contradomínio / imagem (range): [0,\infty), porque \sqrt{\cdot} é sempre \ge 0.
Interceptos: intercepto em y é f(0)=\sqrt{3}. Intercepto em x é x=-3 (único ponto onde f(x)=0).
Continuidade: a função é contínua em todo \mathbb{R} (os dois ramos coincidem em -3 com valor 0).
Diferenciabilidade: não é diferenciável em x=-3 porque a derivada lateral direita \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x+3}} tende a +\infty e a lateral esquerda \displaystyle -\frac{1}{2\sqrt{-x-3}} tende a -\infty. Logo há um canto vertical no vértice.
Passo 7
Instruções práticas para desenhar o gráfico à mão (passo a passo):
Desenha os eixos e marca o ponto x=-3 no eixo x.
Plota o ponto (-3,0) (o vértice).
Plota os pontos do passo 4: por exemplo (-2,1), (-1,\sqrt{2}), (0,\sqrt{3}) à direita; e (-4,1), (-5,\sqrt{2}) à esquerda.
Ligue suavemente os pontos à direita com a curva dada por y=\sqrt{x+3} (começando em (-3,0) e subindo devagar para a direita).
Ligue suavemente os pontos à esquerda com a curva dada por y=\sqrt{-x-3} (começando em (-3,0) e subindo devagar para a esquerda).
Observe que as duas curvas se encontram suavemente em altura, mas formam um vértice onde a tangente é vertical — desenhe com cuidado (não é uma linha reta).
Passo 8
Resumo verbal final para o desenho: o gráfico é simétrico em relação à reta vertical x=-3; tem seu mínimo global em (-3,0); sobe para a direita como \sqrt{x+3} e sobe para a esquerda como \sqrt{-x-3}; imagem [0,\infty).
Domínio: (-\infty,\infty)
Contra-domínio (imagem): [0,\infty)
Interceptos: x-intercepto em (-3,0); y-intercepto em (0,\sqrt{3})
Forma do gráfico: duas ramificações de raiz quadrada unidas em (-3,0), simétricas em relação à reta x=-3, contínua em \mathbb{R} e não diferenciável em x=-3.]