Questão 1. (6pts) Encontre o domínio e a imagem de cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede duas coisas: o domínio de
(conjunto de
reais para os quais a expressão faz sentido) e a imagem de
(conjunto de valores reais que
pode assumir).
As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são: numerador constante
e denominador
, que envolve uma raiz quadrada no denominador.
Passo 2
Entender as restrições impostas pela raiz quadrada e pelo denominador.
- Para que a raiz quadrada
seja um número real, o radicando precisa satisfazer
- Além disso, como esse resultado aparece no denominador, não podemos ter denominador zero; portanto precisamos também de
que é equivalente a
Vou explicar: a condição
vem do fato de que a raiz quadrada de um número negativo não é real; a condição
surge porque dividir por zero é proibido. Portanto devemos resolver a desigualdade estrita
.
Passo 3
Resolver a desigualdade
.
Começo isolando
:
Dividindo por
(isso não inverte o sinal da desigualdade):
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (lembrando que
implica
para
):
Simplificando a raiz:
Portanto a solução é
Passo 4
Concluir o domínio a partir da desigualdade solucionada.
Como só esses
tornam o radicando positivo (evitando divisão por zero e garantindo número real), o domínio de
é o intervalo aberto
Passo 5
Analisar a imagem: comportamento da função dentro do domínio.
Como
no domínio,
é sempre positiva (numerador
e denominador
), logo a imagem fica contida em
.
Para achar os possíveis valores, observe o comportamento do denominador
:
- O radicando
é máximo quando é mínimo, isto é, quando . Então atinge seu valor máximo em . - Nos pontos próximos das extremidades do domínio
, o radicando tende a , logo .
Passo 6
Calcular valores extremos correspondentes de
.
Valor de
em
:
Esse é o menor valor possível de
porque o denominador atingiu seu máximo em
, e
é o inverso (multiplicado por
) do denominador; portanto maior denominador → menor
.
Comportamento quando
se aproxima das extremidades do domínio:
Assim não há limite superior finito:
cresce sem limite ao aproximar-se das bordas do domínio.
Passo 7
Concluir a imagem a partir do mínimo atingido e do comportamento em infinitas.
Resumo:
- O menor valor de
é e ele é atingido (portanto incluído). - Não existe maior valor real finito porque
perto das extremidades do domínio.
Logo a imagem é o intervalo