Questão 1. (6pts) Encontre o domínio e a imagem de cada função abaixo:
f(x)=\frac{9}{\sqrt{27-4 x^{2}}}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\frac{9}{\sqrt{27-4x^{2}}}
e pede duas coisas: o domínio de f (conjunto de x reais para os quais a expressão faz sentido) e a imagem de f (conjunto de valores reais que f(x) pode assumir).
As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são: numerador constante 9 e denominador \sqrt{27-4x^{2}}, que envolve uma raiz quadrada no denominador.

Passo 2

Entender as restrições impostas pela raiz quadrada e pelo denominador.
  • Para que a raiz quadrada \sqrt{27-4x^{2}} seja um número real, o radicando precisa satisfazer
27-4x^{2}\ge 0.
  • Além disso, como esse resultado aparece no denominador, não podemos ter denominador zero; portanto precisamos também de
\sqrt{27-4x^{2}}>0,
que é equivalente a
27-4x^{2}>0.
Vou explicar: a condição \ge 0 vem do fato de que a raiz quadrada de um número negativo não é real; a condição >0 surge porque dividir por zero é proibido. Portanto devemos resolver a desigualdade estrita 27-4x^{2}>0.

Passo 3

Resolver a desigualdade 27-4x^{2}>0.
Começo isolando x^{2}:
27-4x^{2}>0 \quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}<27.
Dividindo por 4>0 (isso não inverte o sinal da desigualdade):
x^{2}<\frac{27}{4}.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (lembrando que x^{2}<a^{2} implica -a<x<a para a>0):
-\sqrt{\frac{27}{4}}<x<\sqrt{\frac{27}{4}}.
Simplificando a raiz:
\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{\sqrt{27}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Portanto a solução é
-\frac{3\sqrt{3}}{2}<x<\frac{3\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Concluir o domínio a partir da desigualdade solucionada.
Como só esses x tornam o radicando positivo (evitando divisão por zero e garantindo número real), o domínio de f é o intervalo aberto
\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},\\ \frac{3\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 5

Analisar a imagem: comportamento da função dentro do domínio.
Como \sqrt{27-4x^{2}}>0 no domínio, f(x) é sempre positiva (numerador 9>0 e denominador >0), logo a imagem fica contida em (0,+\infty).
Para achar os possíveis valores, observe o comportamento do denominador d(x)=\sqrt{27-4x^{2}}:
  • O radicando 27-4x^{2} é máximo quando x^{2} é mínimo, isto é, quando x=0. Então d(x) atinge seu valor máximo em x=0.
  • Nos pontos próximos das extremidades do domínio x\to\pm\frac{3\sqrt{3}}{2}, o radicando tende a 0^{+}, logo d(x)\to 0^{+}.

Passo 6

Calcular valores extremos correspondentes de f.
Valor de f em x=0:
f(0)=\frac{9}{\sqrt{27-4\cdot 0^{2}}}=\frac{9}{\sqrt{27}}=\frac{9}{3\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.
Esse é o menor valor possível de f porque o denominador atingiu seu máximo em x=0, e f é o inverso (multiplicado por 9) do denominador; portanto maior denominador → menor f.
Comportamento quando x se aproxima das extremidades do domínio:
\text{quando }x\to\pm\frac{3\sqrt{3}}{2},\quad \sqrt{27-4x^{2}}\to 0^{+}\quad\Longrightarrow\quad f(x)=\frac{9}{\sqrt{27-4x^{2}}}\to +\infty.
Assim não há limite superior finito: f cresce sem limite ao aproximar-se das bordas do domínio.

Passo 7

Concluir a imagem a partir do mínimo atingido e do comportamento em infinitas.
Resumo:
  • O menor valor de f é f(0)=\sqrt{3} e ele é atingido (portanto incluído).
  • Não existe maior valor real finito porque f(x)\to+\infty perto das extremidades do domínio.
Logo a imagem é o intervalo
\left[\sqrt{3},\\\ +\infty\right).

Resposta

\displaystyle \text{Domínio}=\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},\\ \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)í
\displaystyle \text{Imagem}=\left[\sqrt{3},\\\ +\infty\right)

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