Faça o gráfico de cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para fazer o gráfico da função quadrática
.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes da parábola são .
O que é pedido: desenhar o gráfico da função — na prática, encontrar os pontos relevantes (raízes, vértice, intercepto em , eixo de simetria), entender o formato (abre para cima ou para baixo) e esboçar a parábola.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes da parábola são
O que é pedido: desenhar o gráfico da função — na prática, encontrar os pontos relevantes (raízes, vértice, intercepto em
Passo 2
Vamos achar as raízes (zeros) da função — pontos onde
. Para isso tentamos fatorar
. Procuramos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Esses números são
e
, porque
e
. Portanto:
Assim as raízes são as soluções de
, ou seja:
Esses são os pontos onde o gráfico corta o eixo
.
Passo 3
Calcular o intercepto em
(valor de
em
). Substituindo
em
:
Então o ponto de interseção com o eixo
é
. Observação: esse ponto está entre as raízes
e
verticalmente abaixo, o que já indica que a parábola está negativa entre as raízes.
Passo 4
Determinar o vértice da parábola — ponto de máximo ou mínimo. Para uma parábola
, a abscissa do vértice é dada por
Aqui
e
, então
Agora calculamos a ordenada do vértice
. Substituindo:
Calcule passo a passo:
então
Em decimal isso é
. Portanto o vértice é
Como
, a parábola abre para cima e o vértice é um mínimo.
Passo 5
Eixo de simetria: é a reta vertical que passa pelo vértice, dada por
Isso significa que pontos simétricos em relação a essa reta têm mesma ordenada.
Passo 6
Verificação de simetria com pontos inteiros próximos ao vértice: calculemos
e
:
Note que
— são pontos simétricos em torno de
, e ficam logo acima do vértice que é
. Esses pontos nos ajudam a desenhar com boa precisão sem calculadora.
Passo 7
Sinal da função e comportamento: como as raízes são
e
e
,
- Para
: (parábola acima do eixo ). - Para
: (parábola abaixo do eixo ). - Para
: .
A parábola decresce atée aumenta depois disso.
Passo 8
Como montar o esboço do gráfico (passo a passo prático para você desenhar na prova):
- Desenhe os eixos coordenados
e . Marque a escala de forma que caibam os pontos , , , , , no eixo e valores até cerca de no eixo . - Marque as raízes:
e . - Marque o intercepto em
: . - Marque o vértice:
que é aproximadamente . - Marque os pontos simétricos
e para ajudar a dar a forma correta ao redor do vértice. - Ligue os pontos com uma curva suave em forma de U que passa por
, desce até o vértice e sobe passando por . A curva deve estar acima do eixo para e , e abaixo do eixo entre e .
Passo 9
Checagem rápida: a média das raízes
coincide com a abscissa do vértice, como esperado — bom sinal de que os cálculos estão corretos.
Resposta
Raízes:
e
Intercepto em :
Vértice:
Eixo de simetria:
Abertura: para cima (mínimo no vértice)
Intercepto em
Vértice:
Eixo de simetria:
Abertura: para cima (mínimo no vértice)