Faça o gráfico de cada função abaixo:
f(x)=x^{2}-3 x-40

Passo 1

O enunciado pede para fazer o gráfico da função quadrática \;f(x)=x^{2}-3x-40\;.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes da parábola são \;a=1,\;b=-3,\;c=-40\;.
O que é pedido: desenhar o gráfico da função — na prática, encontrar os pontos relevantes (raízes, vértice, intercepto em y, eixo de simetria), entender o formato (abre para cima ou para baixo) e esboçar a parábola.

Passo 2

Vamos achar as raízes (zeros) da função — pontos onde \;f(x)=0\;. Para isso tentamos fatorar \;x^{2}-3x-40\;. Procuramos dois números cuja soma seja -3 e cujo produto seja -40. Esses números são -8 e 5, porque (-8)+5=-3 e (-8)\cdot 5=-40. Portanto:
x^{2}-3x-40=(x-8)(x+5).
Assim as raízes são as soluções de (x-8)(x+5)=0, ou seja:
x=8\quad\text{e}\quad x=-5.
Esses são os pontos onde o gráfico corta o eixo x.

Passo 3

Calcular o intercepto em y (valor de f em x=0). Substituindo x=0 em \;f(x)=x^{2}-3x-40\;:
f(0)=0^{2}-3\cdot 0-40=-40.
Então o ponto de interseção com o eixo y é (0,-40). Observação: esse ponto está entre as raízes (-5,0) e (8,0) verticalmente abaixo, o que já indica que a parábola está negativa entre as raízes.

Passo 4

Determinar o vértice da parábola — ponto de máximo ou mínimo. Para uma parábola \;ax^{2}+bx+c\;, a abscissa do vértice é dada por
x_v = -\frac{b}{2a}.
Aqui \;a=1\; e \;b=-3\;, então
x_v = -\frac{-3}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}.
Agora calculamos a ordenada do vértice y_v=f(x_v)=f\!\left(\tfrac{3}{2}\right). Substituindo:
f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}-3\cdot\left(\tfrac{3}{2}\right)-40.
Calcule passo a passo:
\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\tfrac{9}{4},\qquad 3\cdot\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{9}{2}=\tfrac{18}{4},
então
f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{9}{4}-\tfrac{18}{4}-\tfrac{160}{4}=\tfrac{9-18-160}{4}=\tfrac{-169}{4}.
Em decimal isso é -42{,}25. Portanto o vértice é
\left(\tfrac{3}{2},-\tfrac{169}{4}\right)=\left(1{,}5,\,-42{,}25\right).
Como \;a=1>0\;, a parábola abre para cima e o vértice é um mínimo.

Passo 5

Eixo de simetria: é a reta vertical que passa pelo vértice, dada por
x=\frac{3}{2}.
Isso significa que pontos simétricos em relação a essa reta têm mesma ordenada.

Passo 6

Verificação de simetria com pontos inteiros próximos ao vértice: calculemos f(1) e f(2):
f(1)=1^{2}-3\cdot1-40=1-3-40=-42,
f(2)=2^{2}-3\cdot2-40=4-6-40=-42.
Note que f(1)=f(2)=-42 — são pontos simétricos em torno de x=\tfrac{3}{2}, e ficam logo acima do vértice que é -42{,}25. Esses pontos nos ajudam a desenhar com boa precisão sem calculadora.

Passo 7

Sinal da função e comportamento: como as raízes são -5 e 8 e a>0,
  • Para x<-5: f(x)>0 (parábola acima do eixo x).
  • Para -5<x<8: f(x)<0 (parábola abaixo do eixo x).
  • Para x>8: f(x)>0.
    A parábola decresce até x=\tfrac{3}{2} e aumenta depois disso.

Passo 8

Como montar o esboço do gráfico (passo a passo prático para você desenhar na prova):
  1. Desenhe os eixos coordenados x e y. Marque a escala de forma que caibam os pontos -5, 0, 1, 1{,}5, 2, 8 no eixo x e valores até cerca de -45 no eixo y.
  2. Marque as raízes: (-5,0) e (8,0).
  3. Marque o intercepto em y: (0,-40).
  4. Marque o vértice: \left(\tfrac{3}{2},-\tfrac{169}{4}\right) que é aproximadamente (1{,}5,-42{,}25).
  5. Marque os pontos simétricos (1,-42) e (2,-42) para ajudar a dar a forma correta ao redor do vértice.
  6. Ligue os pontos com uma curva suave em forma de U que passa por (-5,0), desce até o vértice e sobe passando por (8,0). A curva deve estar acima do eixo x para x<-5 e x>8, e abaixo do eixo x entre -5 e 8.

Passo 9

Checagem rápida: a média das raízes \tfrac{-5+8}{2}=\tfrac{3}{2} coincide com a abscissa do vértice, como esperado — bom sinal de que os cálculos estão corretos.

Resposta

Raízes: x=-5 e x=8
Intercepto em y: (0,-40)
Vértice: \left(\tfrac{3}{2},-\tfrac{169}{4}\right)=\left(1{,}5,-42{,}25\right)
Eixo de simetria: x=\tfrac{3}{2}
Abertura: para cima (mínimo no vértice)

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