Questão 3. (6pts) Usando a Regra da Cadeía para funções de várias variáveis, ache
como função de
da função
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede: calcular
como função de . - Dados:
- Observação importante (informação usada depois): a derivada pedida é a derivada composta de
ao longo da curva ; portanto usaremos a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis: onde e são as derivadas parciais de .
Passo 2
Derivar parcialmente
em relação a
e a
. (Aqui um truque que simplifica tudo.)
Primeiro usar propriedades do logaritmo:
Agora calcular as derivadas parciais (tratando a outra variável como constante):
-
Derivada parcial em relação a
: Explicação: a derivada deem relação a é ; o termo é constante quando diferenciamos em relação a . -
Derivada parcial em relação a
: Explicação: análogo ao caso anterior.
Passo 3
Calcular
. (Usar regra do produto e regra da cadeia.)
Temos
. Aplicando a regra do produto
com
e
:
-
. -
(regra da cadeia).
Portanto
Passo 4
Calcular
. (Também regra do produto e cadeia.)
Temos
. Aplicando a regra do produto com
e
:
-
(derivada de pela regra da cadeia). -
.
Portanto
Passo 5
Aplicar a Regra da Cadeia para obter
em forma direta e substituir as derivadas encontradas.
A regra diz
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Neste ponto podemos substituir
e
completos, mas há uma simplificação elegante que deixa o resultado mais limpo — vamos fazer isso no próximo passo.
Passo 6
Simplificar aproveitando as formas de
e
.
Uma maneira mais direta: como
, temos
Agora calcular
e
simplifica bastante porque aparecem cancelamentos:
-
Para
: (Usou-se.) -
Para
: (Usou-see cancelou .)
Agora multiplicar pelas constantes
e
e somar:
Expandindo os termos: