Questão 3. (6pts) Usando a Regra da Cadeía para funções de várias variáveis, ache \frac{d f}{d t} como função de t da função
f(x, y)=\ln \left(x^{2} y^{3}\right), \quad x=t^{2} \operatorname{sen}\left(t^{3}\right), \quad y=e^{6 t} \cos \left(t^{4}\right) .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: calcular \dfrac{d f}{d t} como função de t.
  • Dados: f(x,y)=\ln\!\left(x^{2}y^{3}\right),
x(t)=t^{2}\operatorname{sen}\!\left(t^{3}\right),
y(t)=e^{6t}\cos\!\left(t^{4}\right).
  • Observação importante (informação usada depois): a derivada pedida é a derivada composta de f ao longo da curva (x(t),y(t)); portanto usaremos a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis: \frac{d f}{d t}=f_{x}\frac{dx}{dt}+f_{y}\frac{dy}{dt},onde f_{x} e f_{y} são as derivadas parciais de f.

Passo 2

Derivar parcialmente f em relação a x e a y. (Aqui um truque que simplifica tudo.)
Primeiro usar propriedades do logaritmo:
f(x,y)=\ln\!\left(x^{2}y^{3}\right)=\ln\!\left(x^{2}\right)+\ln\!\left(y^{3}\right)=2\ln x+3\ln y.
Agora calcular as derivadas parciais (tratando a outra variável como constante):
  • Derivada parcial em relação a x:
    f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2\ln x+3\ln y\big)=2\cdot\frac{1}{x}= \frac{2}{x}.
    Explicação: a derivada de \ln x em relação a x é \dfrac{1}{x}; o termo 3\ln y é constante quando diferenciamos em relação a x.
  • Derivada parcial em relação a y:
    f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2\ln x+3\ln y\big)=3\cdot\frac{1}{y}= \frac{3}{y}.
    Explicação: análogo ao caso anterior.

Passo 3

Calcular \dfrac{dx}{dt}. (Usar regra do produto e regra da cadeia.)
Temos x(t)=t^{2}\operatorname{sen}\!\left(t^{3}\right). Aplicando a regra do produto (uv)'=u'v+uv' com u=t^{2} e v=\operatorname{sen}(t^{3}):
  • u'=2t.
  • v'=\cos\!\left(t^{3}\right)\cdot\frac{d}{dt}(t^{3})=\cos\!\left(t^{3}\right)\cdot 3t^{2} (regra da cadeia).
Portanto
\frac{dx}{dt}=2t\operatorname{sen}\!\left(t^{3}\right)+t^{2}\cdot 3t^{2}\cos\!\left(t^{3}\right) =2t\operatorname{sen}\!\left(t^{3}\right)+3t^{4}\cos\!\left(t^{3}\right).

Passo 4

Calcular \dfrac{dy}{dt}. (Também regra do produto e cadeia.)
Temos y(t)=e^{6t}\cos\!\left(t^{4}\right). Aplicando a regra do produto com u=e^{6t} e v=\cos(t^{4}):
  • u'=6e^{6t} (derivada de e^{6t} pela regra da cadeia).
  • v'=-\operatorname{sen}\!\left(t^{4}\right)\cdot\frac{d}{dt}(t^{4})=-\operatorname{sen}\!\left(t^{4}\right)\cdot 4t^{3}.
Portanto
\frac{dy}{dt}=6e^{6t}\cos\!\left(t^{4}\right)+e^{6t}\big(-4t^{3}\operatorname{sen}\!\left(t^{4}\right)\big) = e^{6t}\big(6\cos\!\left(t^{4}\right)-4t^{3}\operatorname{sen}\!\left(t^{4}\right)\big).

Passo 5

Aplicar a Regra da Cadeia para obter \dfrac{d f}{d t} em forma direta e substituir as derivadas encontradas.
A regra diz
\frac{d f}{d t}=f_{x}\frac{dx}{dt}+f_{y}\frac{dy}{dt}.
Substituindo f_{x}=\dfrac{2}{x}, f_{y}=\dfrac{3}{y}, \dfrac{dx}{dt}=2t\operatorname{sen}(t^{3})+3t^{4}\cos(t^{3}) e \dfrac{dy}{dt}=e^{6t}\big(6\cos(t^{4})-4t^{3}\operatorname{sen}(t^{4})\big), obtemos
\frac{d f}{d t} =\frac{2}{x}\Big(2t\operatorname{sen}\!\left(t^{3}\right)+3t^{4}\cos\!\left(t^{3}\right)\Big) +\frac{3}{y}\,e^{6t}\big(6\cos\!\left(t^{4}\right)-4t^{3}\operatorname{sen}\!\left(t^{4}\right)\big).
Neste ponto podemos substituir x(t) e y(t) completos, mas há uma simplificação elegante que deixa o resultado mais limpo — vamos fazer isso no próximo passo.

Passo 6

Simplificar aproveitando as formas de x e y.
Uma maneira mais direta: como f=2\ln x+3\ln y, temos
\frac{d f}{d t}=2\frac{d}{dt}\ln x+3\frac{d}{dt}\ln y =2\frac{x'}{x}+3\frac{y'}{y}.
Agora calcular \dfrac{x'}{x} e \dfrac{y'}{y} simplifica bastante porque aparecem cancelamentos:
  • Para x:
    \frac{x'}{x}=\frac{2t\operatorname{sen}\!\left(t^{3}\right)+3t^{4}\cos\!\left(t^{3}\right)}{t^{2}\operatorname{sen}\!\left(t^{3}\right)} =\frac{2t\operatorname{sen}(t^{3})}{t^{2}\operatorname{sen}(t^{3})}+\frac{3t^{4}\cos(t^{3})}{t^{2}\operatorname{sen}(t^{3})} =\frac{2}{t}+3t^{2}\cot\!\left(t^{3}\right).
    (Usou-se \cot u=\dfrac{\cos u}{\operatorname{sen} u}.)
  • Para y:
    \frac{y'}{y}=\frac{e^{6t}\big(6\cos(t^{4})-4t^{3}\operatorname{sen}(t^{4})\big)}{e^{6t}\cos(t^{4})} =6-\;4t^{3}\tan\!\left(t^{4}\right).
    (Usou-se \tan u=\dfrac{\operatorname{sen} u}{\cos u} e cancelou e^{6t}.)
Agora multiplicar pelas constantes 2 e 3 e somar:
\frac{d f}{d t}=2\Big(\frac{2}{t}+3t^{2}\cot\!\left(t^{3}\right)\Big) +3\Big(6-4t^{3}\tan\!\left(t^{4}\right)\Big).
Expandindo os termos:
\frac{d f}{d t}=\frac{4}{t}+6t^{2}\cot\!\left(t^{3}\right)+18-12t^{3}\tan\!\left(t^{4}\right).

Resposta

\frac{d f}{d t}=\frac{4}{t}+6t^{2}\cot\!\left(t^{3}\right)+18-12t^{3}\tan\!\left(t^{4}\right).

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