Questão 70: Distribuição de Maxwell I
A distribuição de Maxwell para o modelo de velocidades é dada pela seguinte expressão:
f(v)=\left(\frac{2 \pi k T}{m}\right)^{\frac{3}{2}} 4 \pi v^{2} \exp \left(-\frac{m v^{2}}{2 k T}\right),
onde T representa a temperatura, k=\frac{R}{N_{A}} é a constante de Boltzmann, sendo N_{A} a constante de Avogadro. Demonstre:
Normalização
\int f(v) d v=1
Dica: Demonstre e utilize a seguinte relação:
\int_{0}^{\infty} d x \exp \left(-a x^{2}\right)=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}

Passo 1

O enunciado pede mostrar que a distribuição de Maxwell
f(v)=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}4\pi v^{2}\exp\!\bigl(-\tfrac{m v^{2}}{2kT}\bigr)
está normalizada, isto é,
\int_{0}^{\infty}f(v)\,dv=1.
Vamos usar integrais gaussianas do tipo \int_{0}^{\infty}e^{-a x^{2}}dx e derivar em relação a a para obter \int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-a x^{2}}dx.

Passo 2

Escrevemos a integral de normalização e isolamos a parte que depende de v. Defina
\alpha=\frac{m}{2kT} \quad\text{e}\quad A=\Bigl(\tfrac{m}{2\pi kT}\Bigr)^{\tfrac{3}{2}}.
Então
\int_{0}^{\infty}f(v)\,dv =\int_{0}^{\infty}4\pi A\,v^{2}e^{-\alpha v^{2}}\,dv =4\pi A\int_{0}^{\infty}v^{2}e^{-\alpha v^{2}}\,dv.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{\infty}v^{2}e^{-\alpha v^{2}}\,dv usamos a dica
\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx =\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{\pi}{\alpha}}.
Derivando ambos os lados em relação a \alpha surge
\frac{d}{d\alpha}\!\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx =-\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-\alpha x^{2}}dx \quad\text{e}\quad \frac{d}{d\alpha}\!\Bigl(\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{\pi}{\alpha}}\Bigr) =-\tfrac{1}{4}\sqrt{\tfrac{\pi}{\alpha^{3}}}.
Logo
\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-\alpha x^{2}}dx =\frac{1}{4}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{3}}}.

Passo 4

Substituindo na integral de normalização obtemos
\int_{0}^{\infty}f(v)\,dv =4\pi A\;\frac{1}{4}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{3}}} =\pi A\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{3}}}.
Como
A=\Bigl(\tfrac{m}{2\pi kT}\Bigr)^{\tfrac{3}{2}} =\Bigl(\tfrac{\alpha}{\pi}\Bigr)^{\tfrac{3}{2}},
segue
\pi A\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{3}}} =\pi\;\frac{\alpha^{\tfrac{3}{2}}}{\pi^{\tfrac{3}{2}}}\;\frac{\pi^{\tfrac{1}{2}}}{\alpha^{\tfrac{3}{2}}} =1.

Resposta

\displaystyle\int_{0}^{\infty}f(v)\,dv=1

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