Questão 72: Distribuição de Maxwell II
A distribuição de Maxwell para a velocidade como vetor é dada pela seguinte expressão:
f(\vec{v})=f\left(v_{x}, v_{y}, v_{z}\right)=\left(\frac{2 \pi k T}{m}\right)^{\frac{3}{2}} \exp \left(-\frac{m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right)}{2 k T}\right),
onde T é a temperatura e k=\frac{R}{N_{A}} é a constante de Boltzmann, com N_{A} sendo a constante de Avogadro.
(1) Demonstre
\left\langle v_{x}\right\rangle=\left\langle v_{y}\right\rangle=\left\langle v_{z}\right\rangle=0,
(2) Demonstre
\left\langle v_{x}^{2}\right\rangle=\left\langle v_{y}^{2}\right\rangle=\left\langle v_{z}^{2}\right\rangle=\frac{1}{3}\left\langle v^{2}\right\rangle,
(3) Deduza a distribuição em módulo da velocidade f(v) dada na questão anterior
f(v)=\left(\frac{2 \pi k T}{m}\right)^{\frac{3}{2}} 4 \pi v^{2} \exp \left(-\frac{m v^{2}}{2 k T}\right) .
Dica: Demonstre e utilize a seguinte relação:
\int_{-\infty}^{+\infty} d x \exp \left(-a x^{2}\right)=\sqrt{\frac{\pi}{a}}

Passo 1

O enunciado nos dá a distribuição de Maxwell para o vetor velocidade
f(\vec v)=f(v_x,v_y,v_z)=\left(\frac{2\pi kT}{m}\right)^{\frac32} \exp\Bigl(-\frac{m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}{2kT}\Bigr)
e pede (1) as médias \langle v_x\rangle,\langle v_y\rangle,\langle v_z\rangle, (2) a relação entre \langle v_x^2\rangle e \langle v^2\rangle, e (3) a distribuição de módulo f(v).
Para isso vamos usar
  1. A definição de valor esperado
\langle g(\vec v)\rangle =\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!\!\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!\!\int_{-\infty}^{+\infty} g(\vec v)\,f(\vec v)\,dv_x\,dv_y\,dv_z,
  1. A separabilidade da gaussiana em v_x,v_y,v_z, e
  2. A relação do enunciado
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a x^2}dx=\sqrt{\frac\pi a}.

Passo 2

Para \langle v_x\rangle temos
\langle v_x\rangle =\int d^3v\;v_x\,f(v_x,v_y,v_z).
Como f separa em produto de fatores em v_x, v_y e v_z, isso vira
\Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty}v_x\,e^{-\frac{m v_x^2}{2kT}}dv_x\Bigr) \Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{m v_y^2}{2kT}}dv_y\Bigr) \Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{m v_z^2}{2kT}}dv_z\Bigr)
O primeiro integral é de uma função ímpar em v_x sobre \mathbb R, logo vale zero.
Pelo mesmo raciocínio \langle v_y\rangle=0 e \langle v_z\rangle=0.

Passo 3

Para \langle v_x^2\rangle, de novo a separação dá
\langle v_x^2\rangle =\Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty}v_x^2\,e^{-\frac{m v_x^2}{2kT}}dv_x\Bigr) \Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{m v_y^2}{2kT}}dv_y\Bigr) \Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{m v_z^2}{2kT}}dv_z\Bigr)
dividido pela constante de normalização, que garante \int f\,d^3v=1.
Usando
\int_{-\infty}^{+\infty}x^2\,e^{-a x^2}dx =\frac12\sqrt{\frac\pi{a^3}},
com a=\frac m{2kT}, obtemos
\int v_x^2\,e^{-\frac{m v_x^2}{2kT}}dv_x =\frac12\sqrt{\frac{2\pi kT}{m}}\;\frac{2kT}{m} =\sqrt{\frac{2\pi kT}{m}}\;\frac{kT}{m}.
Os integrais em v_y e v_z são \sqrt{\frac{2\pi kT}{m}} cada.
Como o fator de normalização é \bigl(\frac{2\pi kT}{m}\bigr)^{3/2}, concluímos
\langle v_x^2\rangle=\frac{kT}{m}.
De modo análogo \langle v_y^2\rangle=\langle v_z^2\rangle=\frac{kT}{m}.
Por outro lado
\langle v^2\rangle =\langle v_x^2+v_y^2+v_z^2\rangle =3\,\frac{kT}{m},
logo
\langle v_x^2\rangle=\frac13\langle v^2\rangle,
e o mesmo vale para y,z.

Passo 4

Para achar a distribuição de módulo f(v) definimos
f(v)\,dv =\int_{\|\vec v\|=v}^{\|\vec v\|=v+dv} f(\vec v)\,d^3v.
Em coordenadas esféricas d^3v=4\pi v^2dv e f(\vec v) depende só de v.
Então
f(v)=4\pi v^2 \left(\frac{2\pi kT}{m}\right)^{\frac32} \exp\Bigl(-\frac{mv^2}{2kT}\Bigr).

Resposta

(1) \langle v_x\rangle=\langle v_y\rangle=\langle v_z\rangle=0
(2) \langle v_x^2\rangle=\langle v_y^2\rangle=\langle v_z^2\rangle=\tfrac13\langle v^2\rangle
(3) f(v)=\bigl(\tfrac{2\pi kT}{m}\bigr)^{\frac32}4\pi v^2\exp\bigl(-\tfrac{mv^2}{2kT}\bigr)

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