Questão 72: Distribuição de Maxwell II
A distribuição de Maxwell para a velocidade como vetor é dada pela seguinte expressão:
onde
é a temperatura e
é a constante de Boltzmann, com
sendo a constante de Avogadro.
(1) Demonstre
(2) Demonstre
(3) Deduza a distribuição em módulo da velocidade
dada na questão anterior
Dica: Demonstre e utilize a seguinte relação:
(1) Demonstre
Passo 1
O enunciado nos dá a distribuição de Maxwell para o vetor velocidade
e pede (1) as médias
, (2) a relação entre
e
, e (3) a distribuição de módulo
.
Para isso vamos usar
Para isso vamos usar
- A definição de valor esperado
- A separabilidade da gaussiana em
, e - A relação do enunciado
Passo 2
Para
temos
Como
separa em produto de fatores em
,
e
, isso vira
O primeiro integral é de uma função ímpar em
sobre
, logo vale zero.
Pelo mesmo raciocínio e
.
Pelo mesmo raciocínio
Passo 3
Para
, de novo a separação dá
dividido pela constante de normalização, que garante
.
Usando
Usando
com
, obtemos
Os integrais em
e
são
cada.
Como o fator de normalização é , concluímos
Como o fator de normalização é
De modo análogo
.
Por outro lado
Por outro lado
logo
e o mesmo vale para
.
Passo 4
Para achar a distribuição de módulo
definimos
Em coordenadas esféricas
e
depende só de
.
Então
Então
Resposta
(1)
(2)
(3)
(2)
(3)