Questão 70 (ITA-2006). Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões é?

Passo 1

O enunciado pede o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões, sabendo que:
  • 10 questões.
  • Cada questão tem 5 alternativas, e apenas uma é correta.
  • O candidato assinala exatamente uma alternativa por questão.
    A pergunta é: de quantas maneiras diferentes isso pode ocorrer?

Passo 2

Vamos dividir o problema em duas escolhas independentes:
  1. Escolher quais 7 questões entre as 10 serão as acertadas.
  2. Para as 3 questões restantes (as erradas), escolher qual alternativa errada o candidato marcou em cada uma.
A primeira etapa usa combinações. A quantidade de maneiras de escolher 7 questões entre 10 é dada pelo coeficiente binomial
\binom{10}{7}=\frac{10!}{7!\,3!},
onde n! (fatorial de n) significa n\times(n-1)\times\cdots\times1.

Passo 3

Calculemos \binom{10}{7} passo a passo:
\binom{10}{7}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7!}{7!\cdot(3\cdot2\cdot1)}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}.
Agora simplificando:
\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=\frac{10\cdot9\cdot8}{6}=\frac{720}{6}=120.

Passo 4

Para cada uma das 3 questões erradas, o candidato pode escolher qualquer uma das 4 alternativas incorretas. Como as escolhas em questões distintas são independentes, o número de maneiras de errar essas 3 é
4^3.
Calculando:
4^3=64.

Passo 5

Pelo princípio multiplicativo, o número total de formas de acertar exatamente 7 questões é o produto das duas contagens:
\binom{10}{7}\cdot 4^3 = 120\cdot 64.
Calculando:
120\cdot 64 = 120\cdot(60+4)=7200+480=7680.

Passo 6

Resumo prático / fórmula geral: para uma prova com 10 questões e 5 alternativas por questão, o número de jeitos de acertar exatamente k questões é
\binom{10}{k}\,4^{10-k}.
No caso k=7 isso dá o valor encontrado acima.

Resposta

\;7680\;

Exercícios relacionados