Questão 70 (ITA-2006). Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões é?
Passo 1
O enunciado pede o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões, sabendo que:
- Há
questões. - Cada questão tem
alternativas, e apenas uma é correta. - O candidato assinala exatamente uma alternativa por questão.
A pergunta é: de quantas maneiras diferentes isso pode ocorrer?
Passo 2
Vamos dividir o problema em duas escolhas independentes:
- Escolher quais
questões entre as serão as acertadas. - Para as
questões restantes (as erradas), escolher qual alternativa errada o candidato marcou em cada uma.
A primeira etapa usa combinações. A quantidade de maneiras de escolher
questões entre
é dada pelo coeficiente binomial
onde
(fatorial de
) significa
.
Passo 3
Calculemos
passo a passo:
Agora simplificando:
Passo 4
Para cada uma das
questões erradas, o candidato pode escolher qualquer uma das
alternativas incorretas. Como as escolhas em questões distintas são independentes, o número de maneiras de errar essas
é
Calculando:
Passo 5
Pelo princípio multiplicativo, o número total de formas de acertar exatamente
questões é o produto das duas contagens:
Calculando:
Passo 6
Resumo prático / fórmula geral: para uma prova com
questões e
alternativas por questão, o número de jeitos de acertar exatamente
questões é
No caso
isso dá o valor encontrado acima.