Questão 75 (SEDUC-CE-2009). Um teste para os alunos de determinada sala de uma escola é composto de 8 itens, que deverão ser julgados, individualmente, como CERTOS ou ERRADOS. Nesse caso, excluindo-se as possibilidades de todos os itens estarem CERTOS ou de todos estarem ERRADOS, a quantidade de possíveis gabaritos para esse teste é igual a?
Passo 1
Vou traduzir o enunciado em coisas claras e listar o que foi dado e o que se pede.
- Há
itens no teste. - Cada item é julgado individualmente como CERTOS ou ERRADOS (duas opções por item).
- Devem ser excluídas as possibilidades “todos os itens CERTOS” e “todos os itens ERRADOS”.
- Pergunta: quantos gabaritos possíveis restam, depois de excluir essas duas possibilidades?
Passo 2
Entender o modelo de contagem (princípio multiplicativo) — explicação didática:
- Quando uma ocorrência é composta por várias escolhas independentes, o número total de resultados é o produto do número de opções de cada escolha. Exemplo simples: se tenho 2 camisas e 3 calças, combinações possíveis
. - No nosso caso cada um dos
itens tem opções (CERTO ou ERRADO) e as escolhas entre itens são independentes. Logo aplicamos o princípio multiplicativo com fatores iguais a .
Passo 3
Calcular o total de gabaritos sem exclusão:
Calcule
passo a passo (jeito que dá pra fazer sem calculadora):
Portanto o total de gabaritos possíveis (incluindo os extremos) é
.
Passo 4
Excluir os dois gabaritos proibidos:
- Um gabarito com todos os itens CERTOS (uma possibilidade).
- Um gabarito com todos os itens ERRADOS (uma possibilidade).
Como são exatamente duas configurações proibidas, subtrai-se
do total:
Passo 5
Interpretação rápida para a prova (dica prática): pensar em cada gabarito como um subconjunto dos itens que estão CERTOS. O número de subconjuntos de um conjunto de
elementos é
. Tirando o subconjunto vazio (nenhum certo) e o subconjunto completo (todos certos) fica
. Esse raciocínio funciona em qualquer prova do tipo “cada questão tem duas opções, excluindo todos-certo e todos-errado”.
Resposta
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