Questão 99 (UFRJ-adaptado). Mostre que 99^{99} - 51^{51} é divisível por 4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 99^{99}-51^{51} é divisível por 4.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Os números envolvidos são 99 e 51.
  • Os expoentes são 99 e 51, ambos ímpares.
  • O objetivo é provar divisibilidade por 4, isto é, mostrar que o resto da divisão por 4 é zero.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa "ser divisível por 4" e uma ferramenta útil para isso.
Definição e ideia-chave:
  • Dizer que um inteiro N é divisível por 4 equivale a dizer que
N \equiv 0 \pmod{4},
ou seja, o resto de N na divisão por 4 é 0.
  • A linguagem que vamos usar é congruência modular: para inteiros a,b escrevemos a\equiv b\pmod{4} quando a-b é divisível por 4.
Propriedade importante (que usaremos sem complicar): se
a\equiv b \pmod{4},
então, para qualquer inteiro positivo k,
a^{k}\equiv b^{k}\pmod{4}.
Isso decorre do fato de que congruência é preservada pela multiplicação (pode-se ver por indução sobre k).

Passo 3

Calcular as classes residuais de 99 e 51 módulo 4.
  • Para 99: como 100 é múltiplo de 4, temos 99=100-1, então
99\equiv -1 \pmod{4}.
Também se preferir, 99=4\cdot24+3, então 99\equiv 3\pmod{4}. As duas formas são equivalentes porque -1\equiv 3\pmod{4}.
  • Para 51: como 52 é múltiplo de 4, 51=52-1, então
51\equiv -1 \pmod{4},
ou seja, 51\equiv 3\pmod{4}.
Portanto tanto 99 quanto 51 são congruentes a -1 módulo 4:
99\equiv -1\pmod{4},\qquad 51\equiv -1\pmod{4}.

Passo 4

Elevar às potências ímpares, usando a propriedade do Passo 2. Como ambos são congruentes a -1 módulo 4,
99^{99}\equiv (-1)^{99}\pmod{4}, \qquad 51^{51}\equiv (-1)^{51}\pmod{4}.
Como 99 e 51 são ímpares, (-1)^{\text{ímpar}}=-1í. Assim
99^{99}\equiv -1\pmod{4},\qquad 51^{51}\equiv -1\pmod{4}.

Passo 5

Subtrair as congruências obtidas: como ambos são congruentes a -1 módulo 4,
99^{99}-51^{51}\equiv -1-(-1)\equiv 0\pmod{4}.
Isso significa exatamente que 99^{99}-51^{51} é divisível por 4.

Resposta

99^{99}-51^{51} é divisível por 4.

Exercícios relacionados