Questão 78 (ENA-PROFMAT-2016). De quantas maneiras distintas podemos colocar, em cada espaço abaixo, os algarismos
, de modo que todos os seis algarismos apareçam e formem, em cada membro, números de dois algarismos que satisfaçam as duas desigualdades?
Passo 1
O enunciado pede: contar de quantas maneiras distintas podemos preencher os seis traços
com os algarismos
de forma que:
- todos os seis algarismos apareçam (cada um exatamente uma vez);
- cada par de traços forma um número de dois algarismos (por exemplo,
com na dezena e na unidade); - as desigualdades sejam satisfeitas, isto é, o primeiro número de dois algarismos é menor que o segundo, que por sua vez é menor que o terceiro:
Informações relevantes dadas:
- Conjunto de dígitos disponíveis:
. - Precisamos formar três números de dois algarismos usando todos os dígitos sem repetição.
- Os três números devem aparecer em ordem estritamente crescente da esquerda para a direita.
Passo 2
Primeira observação chave (explicação didática): quando comparamos dois números de dois algarismos, o dígito das dezenas determina a ordem, desde que as dezenas sejam diferentes.
Formalizando: escreva dois números de dois algarismos como
e
, onde
são dígitos de
a
(aqui todos são de
). Se
então
portanto
. Em palavras: se o dígito das dezenas é menor, o número inteiro é necessariamente menor, independentemente dos dígitos das unidades. Como aqui todas as dezenas serão dígitos distintos (usamos cada algarismo uma vez), a ordem dos três números é decidida apenas pelas dezenas em ordem crescente.
Essa observação simplifica muito o problema: basta escolher quais três dos seis dígitos vão ocupar as posições das dezenas; essas três dezenas, ordenadas em ordem crescente, determinam qual é o primeiro, o segundo e o terceiro número. Depois, a escolha dos dígitos das unidades é livre entre os três dígitos restantes, em qualquer permutação, pois a ordem entre os números já está garantida pelas dezenas.
Passo 3
Contar as possibilidades para as dezenas.
Como temos 6 dígitos e precisamos escolher 3 para serem as dezenas, o número de maneiras de escolher o conjunto das dezenas é dado pelo coeficiente binomial
que conta de quantas formas escolher 3 elementos entre 6 sem considerar ordem. Explicando: aqui não permutamos as dezenas entre si porque, para a condição de crescimento, elas ficam automaticamente na ordem crescente (a menor será a dezena do primeiro número, a segunda menor a do segundo, etc.). Calculando:
Portanto existem
escolhas distintas do conjunto das dezenas (cada escolha dá três dezenas que, quando ordenadas, fixam as posições das dezenas nos três números).
Passo 4
Contar as possibilidades para as unidades, dadas as dezenas escolhidas.
Depois de escolher as três dezenas (conjunto de 3 dígitos), restam exatamente 3 dígitos disponíveis para as unidades. Esses três dígitos restantes podem ser atribuídos às três posições de unidade de forma arbitrária, ou seja, qualquer permutação dos três dígitos restantes é permitida. O número de permutações de 3 objetos é
Explicando o conceito:
significa “3 fatorial”, que conta todas as ordens possíveis de colocar 3 elementos distintos em 3 vagas.
Passo 5
Combinar escolhas de dezenas e permutações das unidades.
As decisões “qual conjunto de 3 dígitos será usado nas dezenas” e “como permutar os 3 dígitos restantes nas unidades” são independentes, então multiplicamos o número de possibilidades:
Para fixar a intuição, um exemplo concreto: se escolhemos as dezenas
(uma das
escolhas), elas ficam nas posições das dezenas em ordem
. As unidades seriam os dígitos restantes
, que podem ser arranjados em
maneiras diferentes, cada uma delas gerando uma sequência de três números estritamente crescente. Não há risco de inverter a ordem porque as dezenas são distintas e estão em ordem crescente.
Resposta
120