Questão 85: Em qual direção a função
cresce mais rapidamente no ponto
?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: em qual direção a função cresce mais rapidamente no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função:
. - O ponto onde avaliar:
. - A pergunta: direção de crescimento mais rápido (ou seja, direção de máxima taxa de aumento) em
.
Passo 2
Conceitos fundamentais que vamos usar (sem usar jargão pesado):
- Definição do gradiente: o gradiente de
é o vetor formado pelas derivadas parciais de . Em notação,
Cada componente diz a taxa de variação de
na direção do eixo correspondente.
- Derivada direcional: a taxa de variação de
na direção de um vetor unitário é dada por
ou seja, o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção unitário.
- Resultado chave (que vamos usar): entre todos os vetores unitários
, o valor de é máximo quando tem a mesma direção do gradiente . Nesse caso o máximo vale o módulo do gradiente . Isso decorre da desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
passo a passo.
- Para
: derivando em relação a , tratamos como constante. -
. -
(porque é constante).
Portanto
-
- Para
: derivando em relação a , tratamos como constante. -
. -
.
Portanto
-
Assim o gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
- Substituindo
e em :
Portanto o gradiente no ponto é o vetor
.
Passo 5
Explicar por que o gradiente dá a direção de crescimento máximo e qual é a taxa máxima.
- Para qualquer vetor unitário
vale
- Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz,
com igualdade exatamente quando
tem a mesma direção de
. Assim a direção em que
cresce mais rapidamente é a direção do vetor
, e a taxa máxima de crescimento é
.
Passo 6
Calcular o vetor unitário na direção do gradiente e a taxa máxima numérica.
- Módulo do gradiente:
- O vetor unitário na direção do gradiente é
Portanto a direção (como vetor unitário) e a taxa máxima estão determinadas.
Resposta
A função cresce mais rapidamente na direção do vetor
, cujo vetor unitário é
.
A taxa máxima de crescimento naquele ponto é .
A taxa máxima de crescimento naquele ponto é