Questão 85: Em qual direção a função f(x, y)=x^{2}+x y cresce mais rapidamente no ponto (1,2) ?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+x y e pede: em qual direção a função cresce mais rapidamente no ponto (1,2).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função: f(x,y)=x^{2}+x y.
  • O ponto onde avaliar: (1,2).
  • A pergunta: direção de crescimento mais rápido (ou seja, direção de máxima taxa de aumento) em (1,2).

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (sem usar jargão pesado):
  • Definição do gradiente: o gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais de f. Em notação,
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Cada componente diz a taxa de variação de f na direção do eixo correspondente.
  • Derivada direcional: a taxa de variação de f na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é dada por
D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\mathbf{u},
ou seja, o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção unitário.
  • Resultado chave (que vamos usar): entre todos os vetores unitários \mathbf{u}, o valor de D_{\mathbf{u}}f é máximo quando \mathbf{u} tem a mesma direção do gradiente \nabla f. Nesse caso o máximo vale o módulo do gradiente \|\nabla f\|. Isso decorre da desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f passo a passo.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: derivando f(x,y)=x^{2}+x y em relação a x, tratamos y como constante.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x y)=y (porque y é constante).
      Portanto
    \frac{\partial f}{\partial x}=2x+y.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: derivando em relação a y, tratamos x como constante.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x y)=x.
      Portanto
    \frac{\partial f}{\partial y}=x.
Assim o gradiente geral é
\nabla f(x,y)=\bigl(2x+y,\;x\bigr).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,2).
  • Substituindo x=1 e y=2 em \nabla f(x,y):
\nabla f(1,2)=\bigl(2\cdot 1 + 2,\;1\bigr)=\bigl(4,\;1\bigr).
Portanto o gradiente no ponto é o vetor \bigl(4,1\bigr).

Passo 5

Explicar por que o gradiente dá a direção de crescimento máximo e qual é a taxa máxima.
  • Para qualquer vetor unitário \mathbf{u} vale
D_{\mathbf{u}}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot\mathbf{u}.
  • Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz,
\nabla f(1,2)\cdot\mathbf{u}\le \|\nabla f(1,2)\|\,\|\mathbf{u}\|=\|\nabla f(1,2)\|,
com igualdade exatamente quando \mathbf{u} tem a mesma direção de \nabla f(1,2). Assim a direção em que f cresce mais rapidamente é a direção do vetor \nabla f(1,2), e a taxa máxima de crescimento é \|\nabla f(1,2)\|.

Passo 6

Calcular o vetor unitário na direção do gradiente e a taxa máxima numérica.
  • Módulo do gradiente:
\|\nabla f(1,2)\|=\sqrt{4^{2}+1^{2}}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}.
  • O vetor unitário na direção do gradiente é
\mathbf{u}=\frac{\nabla f(1,2)}{\|\nabla f(1,2)\|}=\frac{1}{\sqrt{17}}\bigl(4,1\bigr)=\biggl(\frac{4}{\sqrt{17}},\frac{1}{\sqrt{17}}\biggr).
Portanto a direção (como vetor unitário) e a taxa máxima estão determinadas.

Resposta

A função cresce mais rapidamente na direção do vetor \bigl(4,1\bigr), cujo vetor unitário é \displaystyle \left(\frac{4}{\sqrt{17}},\frac{1}{\sqrt{17}}\right).
A taxa máxima de crescimento naquele ponto é \sqrt{17}.

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