Questão 88: Ache a direção e a taxa máxima de decréscimo de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
no ponto
:
- A direção em que
tem o máximo decréscimo (ou seja, a direção unitária onde a taxa de variação é mínima). - A taxa máxima de decréscimo (ou seja, o valor mínimo do derivada direcional, que será um número negativo).
Informações dadas:
-
. - Ponto onde se avalia:
.
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar (passo-a-passo didático e fácil):
- A derivada direcional de
no ponto numa direção dada por um vetor unitário é
onde
é o gradiente de
em
e
é o produto escalar.
- O gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
- Importante: para um vetor fixo
, o produto escalar é maximizado quando tem a mesma direção de e é minimizado (valor mais negativo) quando tem a direção oposta. Isso vem da desigualdade de Cauchy–Schwarz:
e como
, o mínimo possível de
é
, obtido quando
é o vetor unitário na direção oposta ao gradiente.
- Portanto: direção de máximo decréscimo = vetor unitário
. Taxa máxima de decréscimo = .
Passo 3
Agora vamos calcular
explicitamente. Usamos a regra da cadeia: se
então
e similar para
. Aqui
.
Cálculo da derivada parcial em
:
Explicando: diferenciar
em relação a
dá
; multiplicamos por
.
Cálculo da derivada parcial em
:
Explicando: diferenciar
em relação a
dá
; multiplicamos por
.
Logo o gradiente é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
. Substituímos
e
.
Primeira componente:
Segunda componente:
Portanto
Passo 5
Calcular a norma do gradiente (que dá a taxa máxima de aumento) e a direção unitária.
Norma:
Direção de máximo aumento (vetor unitário na direção do gradiente):
Direção de máximo decréscimo (oposta ao gradiente):
Taxa máxima de decréscimo:
Breve verificação conceitual: para qualquer vetor unitário
,
e a igualdade ocorre quando
.
Resposta
Direção de máximo decréscimo:
Taxa máxima de decréscimo: