Questão 88: Ache a direção e a taxa máxima de decréscimo de f(x, y)=e^{x y^{2}} no ponto (1,-1).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x,y)=e^{x y^{2}} no ponto (1,-1):
  • A direção em que f tem o máximo decréscimo (ou seja, a direção unitária onde a taxa de variação é mínima).
  • A taxa máxima de decréscimo (ou seja, o valor mínimo do derivada direcional, que será um número negativo).
Informações dadas:
  • f(x,y)=e^{x y^{2}}.
  • Ponto onde se avalia: (1,-1).

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (passo-a-passo didático e fácil):
  • A derivada direcional de f no ponto P numa direção dada por um vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f(P) é o gradiente de f em P e \cdot é o produto escalar.
  • O gradiente \nabla f é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • Importante: para um vetor fixo \nabla f(P), o produto escalar \nabla f(P)\cdot\mathbf{u} é maximizado quando \mathbf{u} tem a mesma direção de \nabla f(P) e é minimizado (valor mais negativo) quando \mathbf{u} tem a direção oposta. Isso vem da desigualdade de Cauchy–Schwarz:
\nabla f(P)\cdot\mathbf{u} \ge -\|\nabla f(P)\|\,\|\mathbf{u}\|
e como \|\mathbf{u}\|=1, o mínimo possível de D_{\mathbf{u}}f(P) é -\|\nabla f(P)\|, obtido quando \mathbf{u} é o vetor unitário na direção oposta ao gradiente.
  • Portanto: direção de máximo decréscimo = vetor unitário -\dfrac{\nabla f(P)}{\|\nabla f(P)\|}. Taxa máxima de decréscimo = -\|\nabla f(P)\|.

Passo 3

Agora vamos calcular \nabla f(x,y) explicitamente. Usamos a regra da cadeia: se f(x,y)=e^{g(x,y)} então \partial f/\partial x = (\partial g/\partial x)\,e^{g(x,y)} e similar para y. Aqui g(x,y)=x y^{2}.
Cálculo da derivada parcial em x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x y^{2}}\big) = y^{2}\,e^{x y^{2}}.
Explicando: diferenciar x y^{2} em relação a x y^{2}; multiplicamos por e^{x y^{2}}.
Cálculo da derivada parcial em y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x y^{2}}\big) = (2 x y)\,e^{x y^{2}}.
Explicando: diferenciar x y^{2} em relação a y 2 x y; multiplicamos por e^{x y^{2}}.
Logo o gradiente é
\nabla f(x,y)=\big(y^{2}e^{x y^{2}},\;2 x y\,e^{x y^{2}}\big).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P=(1,-1). Substituímos x=1 e y=-1.
Primeira componente:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,-1)=(-1)^{2}e^{1\cdot(-1)^{2}}=1\cdot e^{1}=e.
Segunda componente:
\frac{\partial f}{\partial y}(1,-1)=2\cdot1\cdot(-1)\,e^{1\cdot(-1)^{2}}=-2e.
Portanto
\nabla f(1,-1)=(e,\,-2e)=e(1,-2).

Passo 5

Calcular a norma do gradiente (que dá a taxa máxima de aumento) e a direção unitária.
Norma:
\|\nabla f(1,-1)\|=\sqrt{e^{2}+(-2e)^{2}}=\sqrt{e^{2}+4e^{2}}=\sqrt{5e^{2}}=e\sqrt{5}.
Direção de máximo aumento (vetor unitário na direção do gradiente):
\mathbf{u}_{\text{aumento}}=\frac{\nabla f(1,-1)}{\|\nabla f(1,-1)\|} =\frac{e(1,-2)}{e\sqrt{5}}=\frac{(1,-2)}{\sqrt{5}}.
Direção de máximo decréscimo (oposta ao gradiente):
\mathbf{u}_{\text{decréscimo}}=-\mathbf{u}_{\text{aumento}}=-\frac{(1,-2)}{\sqrt{5}}=\frac{(-1,2)}{\sqrt{5}}.é
Taxa máxima de decréscimo:
\text{taxa mínima} = -\|\nabla f(1,-1)\| = -e\sqrt{5}.í
Breve verificação conceitual: para qualquer vetor unitário \mathbf{u},
D_{\mathbf{u}}f(1,-1)=\nabla f(1,-1)\cdot\mathbf{u}\ge -\|\nabla f(1,-1)\| = -e\sqrt{5},
e a igualdade ocorre quando \mathbf{u}=\mathbf{u}_{\text{decréscimo}}é.

Resposta

Direção de máximo decréscimo: \displaystyle \frac{(-1,2)}{\sqrt{5}}
Taxa máxima de decréscimo: \displaystyle -e\sqrt{5}

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