Questão 91. Deduza uma fórmula para cada uma das expressões abaixo e calcule o valor da soma dos 50 primeiros termos.
Passo 1
O enunciado dá a soma parcial
e pede duas coisas:
- Deduzir uma fórmula geral para
válida para todo . - Calcular o valor da soma dos
primeiros termos (ou seja, ).
Informações relevantes que temos do enunciado:
- O termo geral somado é
. - A soma vai de
até . - Precisamos de uma expressão fechada (fórmula) para
e depois avaliar essa fórmula em .
Passo 2
Começo simplificando o termo genérico dentro da soma, expandindo o produto
. Faço multiplicação termo a termo:
Calculando cada parte:
Somando:
Passo 3
Substituo essa expressão na soma:
Como soma é linear, separo em somas conhecidas:
Passo 4
Agora preciso das fórmulas básicas para as somas que aparecem. Primeiro a soma dos primeiros
inteiros:
Pequena justificativa (pareamento): escrevendo a soma em ordem direta e inversa e somando termo a termo obtém-se
, daí a fórmula acima. Aqui
é o número de termos e
é o índice que varre
.
Também preciso da soma da constante
repetida
vezes:
Isto é imediato: soma de
unidades.
Passo 5
Falta a fórmula para a soma dos quadrados:
Vou dar uma derivação curta e elegante usando telescopia de cubos. Note que
Somando essa identidade para
até
(lado esquerdo telescopa) dá:
No lado direito:
Portanto
Isolando
e simplificando obtém-se
como desejado. Aqui todas as variáveis já estão explicadas:
é o número de termos.
Passo 6
Substituo as fórmulas em
:
O primeiro termo simplifica porque o
cancela:
Coloco tudo sobre um denominador comum para simplificar de forma organizada. Primeiro calculo
:
Então
Agora escrevo os outros termos com denominador
:
Assim, reescrevendo
com denominador
:
Junto tudo:
Fatorando
fica uma forma talvez mais compacta:
Passo 7
Agora aplico a fórmula ao caso
. Substituo
em
Calculo passo a passo:
Então
e
Portanto o numerador é
. Dividindo por
obtém-se o valor final numérico (a seguir na seção de respostas).