Questão 92. Calcule:
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a soma
Informações que temos do enunciado:
- A soma é sobre
indo de até . - O termo geral é
, ou seja, é a soma de dois tipos de termos: e .
A tarefa é encontrar um valor fechado em função de.
Passo 2
Idéia básica: separar a soma em duas somas mais simples usando que
. Então
Agora vamos calcular cada uma das duas somas à direita.
Passo 3
Calcular
.
Lembrete (Teorema do binômio): para qualquer inteiro não negativo e qualquer
,
Lembrete (Teorema do binômio): para qualquer
Tomando
obtemos
ou seja
Portanto a primeira soma vale
.
Passo 4
Calcular
usando derivada do binômio.
Começamos novamente de
Começamos novamente de
Derivando ambos os lados em relação a
(explicando passo a passo):
- A derivada do lado esquerdo é
porque por regra da cadeia a derivada de é . - A derivada do lado direito é
(derivando termo a termo: a derivada de é ).
Assim obtemos
Multiplicando ambos os lados por
para ter
no somatório:
Agora substituímos
:
- No lado esquerdo
. - No lado direito obtemos
.
Portanto
Passo 5
Agora juntamos as duas somas calculadas nos passos anteriores:
Passo 6
Fatorando
para simplificar:
Esse é o resultado final simplificado.
Passo 7
Verificação rápida com um exemplo pequeno para ganhar confiança (opcional, mas útil na prova):
- Tome
. Os binomiais são . - A soma direta é
. - A fórmula dá
. Confere.