Questão 91 (Idêntica à sua prova): Calcule a derivada direcional da função f(x, y)=x^{3} y^{2}+x y em P=(3,-1) na direção tangente à curva y-x^{3}=1 no ponto (1,2).
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara das informações):
A função é f(x,y)=x^{3}y^{2}+xy.
O ponto onde se quer a derivada direcional é P=(3,-1).
A direção é a direção tangente à curva y-x^{3}=1 no ponto (1,2).
A pergunta: calcular a derivada direcional de f em P na direção tangente dessa curva (ou seja, a taxa de variação de f em P ao longo da reta que tem a mesma direção da tangente da curva em (1,2)).
Observações úteis extraídas do enunciado:
O ponto (1,2) pertence à curva porque 2-1^3=1.
A direção tangente será obtida a partir da derivada \dfrac{dy}{dx} da curva no ponto (1,2); essa derivada fornece a inclinação da reta tangente, que dá um vetor diretor (qualquer múltiplo serve).
Passo 2
Achar a inclinação da tangente da curva y-x^{3}=1 em (1,2) por diferenciação implícita.
Diferenciando a equação \;y-x^{3}=1\; em relação a x (tratando y como função de x):
pois a inclinação 3 corresponde ao vetor (\Delta x,\Delta y)=(1,3). Qualquer múltiplo de (1,3) também representa a mesma direção.
Passo 3
Explicar o conceito que vamos usar para calcular a derivada direcional.
A derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário u é dada por
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u,
onde \nabla f(P) é o gradiente de f em P e \cdot denota o produto escalar.
O gradiente \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y) reúne as taxas parciais; o produto escalar com u dá a taxa de variação de f por unidade de comprimento na direção de u. Por isso precisamos normalizar v para obter o vetor unitário
u=\frac{v}{\|v\|}.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de f.
Para \partial f/\partial x: tratar y como constante e derivar em relação a x.
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2}+y,
explicando: a derivada de x^{3}y^{2} em relação a x é 3x^{2}y^{2} (porque y^{2} é constante) e a derivada de xy em relação a x é y.
Para \partial f/\partial y: tratar x como constante.
\frac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y+x,
explicando: a derivada de x^{3}y^{2} em relação a y é 2x^{3}y e a de xy é x.
Passo 5
Avaliar o gradiente em P=(3,-1).
Substituindo em \frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2}+y:
O sinal negativo indica que, ao mover-se em P na direção dada pela tangente (na mesma direção que a tangente em (1,2)), a função f diminui com taxa \dfrac{127}{\sqrt{10}} por unidade de comprimento (no sentido do vetor u).