Questão 91 (Idêntica à sua prova): Calcule a derivada direcional da função f(x, y)=x^{3} y^{2}+x y em P=(3,-1) na direção tangente à curva y-x^{3}=1 no ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara das informações):
  • A função é f(x,y)=x^{3}y^{2}+xy.
  • O ponto onde se quer a derivada direcional é P=(3,-1).
  • A direção é a direção tangente à curva y-x^{3}=1 no ponto (1,2).
  • A pergunta: calcular a derivada direcional de f em P na direção tangente dessa curva (ou seja, a taxa de variação de f em P ao longo da reta que tem a mesma direção da tangente da curva em (1,2)).
Observações úteis extraídas do enunciado:
  • O ponto (1,2) pertence à curva porque 2-1^3=1.
  • A direção tangente será obtida a partir da derivada \dfrac{dy}{dx} da curva no ponto (1,2); essa derivada fornece a inclinação da reta tangente, que dá um vetor diretor (qualquer múltiplo serve).

Passo 2

Achar a inclinação da tangente da curva y-x^{3}=1 em (1,2) por diferenciação implícita.
Diferenciando a equação \;y-x^{3}=1\; em relação a x (tratando y como função de x):
\frac{dy}{dx}-3x^{2}=0.
Logo,
\frac{dy}{dx}=3x^{2}.
No ponto (1,2) temos
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,2)}=3\cdot 1^{2}=3.
Portanto um vetor diretor da tangente é
v=(1,3),
pois a inclinação 3 corresponde ao vetor (\Delta x,\Delta y)=(1,3). Qualquer múltiplo de (1,3) também representa a mesma direção.

Passo 3

Explicar o conceito que vamos usar para calcular a derivada direcional.
A derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário u é dada por
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u,
onde \nabla f(P) é o gradiente de f em P e \cdot denota o produto escalar.
O gradiente \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y) reúne as taxas parciais; o produto escalar com u dá a taxa de variação de f por unidade de comprimento na direção de u. Por isso precisamos normalizar v para obter o vetor unitário
u=\frac{v}{\|v\|}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f.
Para \partial f/\partial x: tratar y como constante e derivar em relação a x.
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2}+y,
explicando: a derivada de x^{3}y^{2} em relação a x é 3x^{2}y^{2} (porque y^{2} é constante) e a derivada de xy em relação a x é y.
Para \partial f/\partial y: tratar x como constante.
\frac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y+x,
explicando: a derivada de x^{3}y^{2} em relação a y é 2x^{3}y e a de xy é x.

Passo 5

Avaliar o gradiente em P=(3,-1).
Substituindo em \frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2}+y:
\frac{\partial f}{\partial x}(3,-1)=3\cdot 3^{2}\cdot(-1)^{2}+(-1)=3\cdot 9\cdot 1-1=27-1=26.
Substituindo em \frac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y+x:
\frac{\partial f}{\partial y}(3,-1)=2\cdot 3^{3}\cdot(-1)+3=2\cdot 27\cdot(-1)+3=-54+3=-51.
Portanto
\nabla f(3,-1)=(26,\,-51).

Passo 6

Normalizar o vetor diretor v=(1,3) para obter o vetor unitário u.
Calcular a norma de v:
\|v\|=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}.
Logo
u=\frac{1}{\sqrt{10}}(1,3)=\left(\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}}\right).

Passo 7

Calcular a derivada direcional como produto escalar \nabla f(3,-1)\cdot u.
Fazendo o produto escalar:
D_{u}f(3,-1)=26\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}+(-51)\cdot\frac{3}{\sqrt{10}} =\frac{26-153}{\sqrt{10}}=\frac{-127}{\sqrt{10}}.
O sinal negativo indica que, ao mover-se em P na direção dada pela tangente (na mesma direção que a tangente em (1,2)), a função f diminui com taxa \dfrac{127}{\sqrt{10}} por unidade de comprimento (no sentido do vetor u).

Resposta

-\dfrac{127}{\sqrt{10}}

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