Questão 92: Encontre a derivada direcional de f(x, y)=x^{2}-3 y^{2} em P(2,1) na direção do vetor tangente à curva y=\sqrt{x-1} no ponto ( 2,1 ).
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.
Pede-se a derivada direcional de f(x,y)=x^{2}-3y^{2} no ponto P(2,1) na direção do vetor tangente à curva y=\sqrt{x-1} no ponto (2,1).
Informações dadas:
A função: f(x,y)=x^{2}-3y^{2}.
O ponto: P=(2,1).
A curva: y=\sqrt{x-1}, e a direção a usar é a direção do vetor tangente a essa curva em (2,1).
Passo 2
O que é derivada direcional e a fórmula que vamos usar (explicação didática).
Definição (intuição): a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f quando nos deslocamos a partir de P na direção de \mathbf{u}.
Teorema útil (fácil e com enorme poder prático): se f é diferenciável em P, então a derivada direcional pode ser obtida pelo produto escalar entre o gradiente de f em P e o vetor unitário \mathbf{u}:D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.Aqui \nabla f(P) é o vetor das derivadas parciais de f em P, e \cdot é o produto escalar (soma dos produtos componente a componente).
Observação importante: a fórmula acima exige que \mathbf{u} seja unitário. Se tiver um vetor não unitário, primeiro normalize-o dividindo pelo seu comprimento.
Passo 3
Calcular o gradiente de f e avaliar em P (passo a passo das derivadas parciais).
Aqui f_x é a taxa de variação de f com respeito a x mantendo y fixo; f_y é análoga para y.
O gradiente:\nabla f(x,y)=(f_x(x,y),\,f_y(x,y))=(2x,\,-6y).
Avaliando em P=(2,1):\nabla f(2,1)=(2\cdot2,\,-6\cdot1)=(4,\,-6).
Passo 4
Encontrar o vetor tangente à curva y=\sqrt{x-1} em (2,1).
Primeiro, derivar a curva para obter a inclinação da tangente. Como y=\sqrt{x-1}=(x-1)^{1/2},\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(x-1)^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}.
Avaliando em x=2 (o ponto dado tem x=2):\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2}=\frac{1}{2\sqrt{2-1}}=\frac{1}{2}.
Um vetor tangente (não necessariamente unitário) pode ser escolhido como\mathbf{v}=(1,\,\tfrac{dy}{dx})=(1,\,\tfrac{1}{2}).Explicação rápida: \mathbf{v} representa um pequeno avanço \Delta x=1 e o correspondente \Delta y=\tfrac{dy}{dx}\cdot 1; é um vetor na direção da tangente.
Passo 5
Normalizar o vetor tangente para obter o vetor unitário \mathbf{u}.
Calcular o comprimento (norma) de \mathbf{v}:\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1+\tfrac{1}{4}}=\sqrt{\tfrac{5}{4}}=\tfrac{\sqrt{5}}{2}.
O vetor unitário na direção da tangente é\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{(1,\,\tfrac{1}{2})}{\tfrac{\sqrt{5}}{2}}=\left(\tfrac{2}{\sqrt{5}},\,\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right).
Passo 6
Calcular a derivada direcional usando o produto escalar (aplicando a fórmula).
Usando D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}, com \nabla f(2,1)=(4,-6) e \mathbf{u}=\left(\tfrac{2}{\sqrt{5}},\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right),D_{\mathbf{u}}f(2,1)=4\cdot\tfrac{2}{\sqrt{5}}+(-6)\cdot\tfrac{1}{\sqrt{5}}=\frac{8-6}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Interpretação curta: quando você avança unitariamente ao longo da tangente da curva naquele ponto, f cresce à taxa \tfrac{2}{\sqrt{5}} por unidade de comprimento ao longo da curva.
Passo 7
Verificação alternativa (intuitiva) por regra da cadeia e relação com a velocidade da parametrização.
Parâmetrizando a curva por x=t, y=\sqrt{t-1}. Então r(t)=(t,\sqrt{t-1}) e r'(t)=(1,\tfrac{1}{2\sqrt{t-1}}). Em t=2, r'(2)=(1,\tfrac{1}{2}) (que é nosso \mathbf{v}).
Pela regra da cadeia,\frac{d}{dt}f(r(t))\Big|_{t=2}=\nabla f(2,1)\cdot r'(2)= (4,-6)\cdot(1,\tfrac{1}{2})=4-3=1.Esse é o ritmo de variação de f em função do parâmetro t. Para passar ao ritmo por unidade de comprimento (derivada direcional convencional) divide-se pela velocidade \|r'(2)\|=\tfrac{\sqrt{5}}{2}:D_{\mathbf{u}}f(2,1)=\frac{1}{\tfrac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}},que coincide com o resultado acima. Isso confirma que tudo está coerente.