Questão 92: Encontre a derivada direcional de f(x, y)=x^{2}-3 y^{2} em P(2,1) na direção do vetor tangente à curva y=\sqrt{x-1} no ponto ( 2,1 ).

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Pede-se a derivada direcional de f(x,y)=x^{2}-3y^{2} no ponto P(2,1) na direção do vetor tangente à curva y=\sqrt{x-1} no ponto (2,1).
  • Informações dadas:
    • A função: f(x,y)=x^{2}-3y^{2}.
    • O ponto: P=(2,1).
    • A curva: y=\sqrt{x-1}, e a direção a usar é a direção do vetor tangente a essa curva em (2,1).

Passo 2

O que é derivada direcional e a fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Definição (intuição): a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f quando nos deslocamos a partir de P na direção de \mathbf{u}.
  • Definição formal: D_{\mathbf{u}}f(P)=\lim_{h\to 0}\frac{f(P+h\mathbf{u})-f(P)}{h}.
  • Teorema útil (fácil e com enorme poder prático): se f é diferenciável em P, então a derivada direcional pode ser obtida pelo produto escalar entre o gradiente de f em P e o vetor unitário \mathbf{u}: D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.Aqui \nabla f(P) é o vetor das derivadas parciais de f em P, e \cdot é o produto escalar (soma dos produtos componente a componente).
  • Observação importante: a fórmula acima exige que \mathbf{u} seja unitário. Se tiver um vetor não unitário, primeiro normalize-o dividindo pelo seu comprimento.

Passo 3

Calcular o gradiente de f e avaliar em P (passo a passo das derivadas parciais).
  • Derivadas parciais: f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-3y^{2})=2x,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-3y^{2})=-6y.
Aqui f_x é a taxa de variação de f com respeito a x mantendo y fixo; f_y é análoga para y.
  • O gradiente: \nabla f(x,y)=(f_x(x,y),\,f_y(x,y))=(2x,\,-6y).
  • Avaliando em P=(2,1): \nabla f(2,1)=(2\cdot2,\,-6\cdot1)=(4,\,-6).

Passo 4

Encontrar o vetor tangente à curva y=\sqrt{x-1} em (2,1).
  • Primeiro, derivar a curva para obter a inclinação da tangente. Como y=\sqrt{x-1}=(x-1)^{1/2}, \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(x-1)^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}.
  • Avaliando em x=2 (o ponto dado tem x=2): \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2}=\frac{1}{2\sqrt{2-1}}=\frac{1}{2}.
  • Um vetor tangente (não necessariamente unitário) pode ser escolhido como \mathbf{v}=(1,\,\tfrac{dy}{dx})=(1,\,\tfrac{1}{2}).Explicação rápida: \mathbf{v} representa um pequeno avanço \Delta x=1 e o correspondente \Delta y=\tfrac{dy}{dx}\cdot 1; é um vetor na direção da tangente.

Passo 5

Normalizar o vetor tangente para obter o vetor unitário \mathbf{u}.
  • Calcular o comprimento (norma) de \mathbf{v}: \|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1+\tfrac{1}{4}}=\sqrt{\tfrac{5}{4}}=\tfrac{\sqrt{5}}{2}.
  • O vetor unitário na direção da tangente é \mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{(1,\,\tfrac{1}{2})}{\tfrac{\sqrt{5}}{2}}=\left(\tfrac{2}{\sqrt{5}},\,\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional usando o produto escalar (aplicando a fórmula).
  • Usando D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}, com \nabla f(2,1)=(4,-6) e \mathbf{u}=\left(\tfrac{2}{\sqrt{5}},\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right), D_{\mathbf{u}}f(2,1)=4\cdot\tfrac{2}{\sqrt{5}}+(-6)\cdot\tfrac{1}{\sqrt{5}}=\frac{8-6}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
  • Interpretação curta: quando você avança unitariamente ao longo da tangente da curva naquele ponto, f cresce à taxa \tfrac{2}{\sqrt{5}} por unidade de comprimento ao longo da curva.

Passo 7

Verificação alternativa (intuitiva) por regra da cadeia e relação com a velocidade da parametrização.
  • Parâmetrizando a curva por x=t, y=\sqrt{t-1}. Então r(t)=(t,\sqrt{t-1}) e r'(t)=(1,\tfrac{1}{2\sqrt{t-1}}). Em t=2, r'(2)=(1,\tfrac{1}{2}) (que é nosso \mathbf{v}).
  • Pela regra da cadeia, \frac{d}{dt}f(r(t))\Big|_{t=2}=\nabla f(2,1)\cdot r'(2)= (4,-6)\cdot(1,\tfrac{1}{2})=4-3=1.Esse é o ritmo de variação de f em função do parâmetro t. Para passar ao ritmo por unidade de comprimento (derivada direcional convencional) divide-se pela velocidade \|r'(2)\|=\tfrac{\sqrt{5}}{2}: D_{\mathbf{u}}f(2,1)=\frac{1}{\tfrac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}},que coincide com o resultado acima. Isso confirma que tudo está coerente.

Resposta

\dfrac{2}{\sqrt{5}}

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