Questão 90: Calcule a derivada direcional de f(x, y)=x / y \mathrm{em}(2,1) na direção do ponto (4,5).

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Função dada: f(x,y)=\dfrac{x}{y}.
  • Ponto onde devemos avaliar a derivada direcional: (2,1).
  • Direção indicada pelo ponto (4,5) — isto é, a direção é a reta que vai de (2,1) para (4,5).
  • Pergunta: calcular a derivada direcional de f em (2,1) na direção do ponto (4,5).

Passo 2

O que é a derivada direcional e como a calculamos (explicação didática).
  • Intuição: a derivada direcional mede a taxa de variação de f quando nos deslocamos a partir de um ponto na direção escolhida, por unidade de comprimento nessa direção. É “quanto f cresce por metro caminhando naquela direção”.
  • Definição prática (fórmula): se u é o vetor unitário que indica a direção, a derivada direcional de f em um ponto (x_0,y_0) na direção u é dada por
D_{u}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot u.
  • O que é cada coisa:
    • \nabla f(x,y) é o gradiente de f, que é o vetor das derivadas parciais:
    \nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y),\; \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).Ele aponta na direção de maior crescimento de f e seu módulo é a taxa máxima de crescimento por unidade de comprimento.
    • u tem de ser um vetor unitário (comprimento 1). Se a direção for dada por um vetor qualquer v, primeiro normalizamos: u=\dfrac{v}{\|v\|}.
  • Portanto o plano de ação: (i) calcular as parciais de f e formar \nabla f; (ii) formar o vetor direção v=(4-2,\,5-1) e normalizá‑lo para obter u; (iii) fazer o produto escalar \nabla f(2,1)\cdot u.

Passo 3

Calcular o gradiente \nabla f(x,y) passo a passo (derivadas parciais).
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x}{y}=x\cdot y^{-1}.
  • Derivada parcial em relação a x: tratar y como constante. A derivada de x é 1, então
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{1}{y}.
  • Derivada parcial em relação a y: tratar x como constante. Usando potência y^{-1}, a derivada é -1\cdot x\cdot y^{-2}, ou seja
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\dfrac{x}{y^{2}}.
  • Logo o gradiente geral é
\displaystyle \nabla f(x,y)=\left(\dfrac{1}{y},\; -\dfrac{x}{y^{2}}\right).
  • Avaliando em (2,1):
\dfrac{\partial f}{\partial x}(2,1)=\dfrac{1}{1}=1, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}(2,1)=-\dfrac{2}{1^{2}}=-2.
  • Assim
\nabla f(2,1)=(1,\,-2).

Passo 4

Formar o vetor direção e normalizá‑lo (obter o vetor unitário u).
  • Vetor que aponta de (2,1) para (4,5) é
v=(4-2,\;5-1)=(2,\;4).
  • Norma (comprimento) de v:
\|v\|=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
  • Vetor unitário na mesma direção:
u=\dfrac{v}{\|v\|}=\dfrac{(2,4)}{2\sqrt{5}}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}},\;\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right).

Passo 5

Calcular a derivada direcional fazendo o produto escalar.
  • Usamos a fórmula D_{u}f(2,1)=\nabla f(2,1)\cdot u.
  • Substituindo \nabla f(2,1)=(1,-2) e u=\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}},\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right):
D_{u}f(2,1)=(1,\,-2)\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}},\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) =\dfrac{1}{\sqrt{5}}+(-2)\cdot\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{1-4}{\sqrt{5}}=\dfrac{-3}{\sqrt{5}}.
  • Forma racionalizada (opcional):
D_{u}f(2,1)=-\dfrac{3\sqrt{5}}{5}.
  • Interpretação rápida: o valor negativo significa que, ao ir da posição (2,1) na direção de (4,5), a função f diminui; o número é a taxa de variação por unidade de comprimento na direção indicada.

Passo 6

Checagem rápida e incentivo (pequeno reforço didático).
  • Se a direção fosse o vetor horizontal unitário (1,0), a derivada direcional seria simplesmente \dfrac{\partial f}{\partial x}(2,1)=1. Aqui obtivemos -\dfrac{3}{\sqrt{5}}, compatível com o gradiente que tem componente negativa na direção y.
  • Vai dar certo na prova: siga sempre os três passos práticos — gradiente, vetor direção, normalizar, produto escalar — e faça as contas com calma. Força, você consegue!

Resposta

-\dfrac{3\sqrt{5}}{5}

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