Questão 90: Calcule a derivada direcional de
na direção do ponto
.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Função dada:
. - Ponto onde devemos avaliar a derivada direcional:
. - Direção indicada pelo ponto
— isto é, a direção é a reta que vai de para . - Pergunta: calcular a derivada direcional de
em na direção do ponto .
Passo 2
O que é a derivada direcional e como a calculamos (explicação didática).
- Intuição: a derivada direcional mede a taxa de variação de
quando nos deslocamos a partir de um ponto na direção escolhida, por unidade de comprimento nessa direção. É “quanto cresce por metro caminhando naquela direção”. - Definição prática (fórmula): se
é o vetor unitário que indica a direção, a derivada direcional de em um ponto na direção é dada por
- O que é cada coisa:
-
é o gradiente de , que é o vetor das derivadas parciais:
Ele aponta na direção de maior crescimento de e seu módulo é a taxa máxima de crescimento por unidade de comprimento. -
tem de ser um vetor unitário (comprimento ). Se a direção for dada por um vetor qualquer , primeiro normalizamos: .
-
- Portanto o plano de ação: (i) calcular as parciais de
e formar ; (ii) formar o vetor direção e normalizá‑lo para obter ; (iii) fazer o produto escalar .
Passo 3
Calcular o gradiente
passo a passo (derivadas parciais).
- A função é
. - Derivada parcial em relação a
: tratar como constante. A derivada de é , então
- Derivada parcial em relação a
: tratar como constante. Usando potência , a derivada é , ou seja
- Logo o gradiente geral é
- Avaliando em
:
- Assim
Passo 4
Formar o vetor direção e normalizá‑lo (obter o vetor unitário
).
- Vetor que aponta de
para é
- Norma (comprimento) de
:
- Vetor unitário na mesma direção:
Passo 5
Calcular a derivada direcional fazendo o produto escalar.
- Usamos a fórmula
. - Substituindo
e :
- Forma racionalizada (opcional):
- Interpretação rápida: o valor negativo significa que, ao ir da posição
na direção de , a função diminui; o número é a taxa de variação por unidade de comprimento na direção indicada.
Passo 6
Checagem rápida e incentivo (pequeno reforço didático).
- Se a direção fosse o vetor horizontal unitário
, a derivada direcional seria simplesmente . Aqui obtivemos , compatível com o gradiente que tem componente negativa na direção . - Vai dar certo na prova: siga sempre os três passos práticos — gradiente, vetor direção, normalizar, produto escalar — e faça as contas com calma. Força, você consegue!