Questão 91: Reflexão da onda e a condição da borda

Existe um análogo entre a reflexão de uma onda mecânica que se propaga em uma corda com uma extremidade fixa na parede e a reflexão da luz de um meio menos refringente (mais diluído) para um meio mais refringente (mais denso). Vamos considerar o caso de uma onda mecânica unidimensional, em que a onda incidente é uma onda plana que se propaga na direção positiva do eixo x, dada pela forma
y=A \cos (\omega t-k x+\varphi) .
Encontre a forma da onda refletida em que o ponto de reflexão x=x_{0} é fixo.

Passo 1

O enunciado dá uma onda incidente
y_i(x,t)=A\cos\bigl(\omega t - kx + \varphi\bigr)
que atinge uma extremidade fixa em x=x_{0}. Como esse ponto não se move, a condição de contorno é
y(x_{0},t)=0\quad\forall t
e a onda total é a soma da incidente com a refletida y_r. Nosso objetivo é achar y_r(x,t).

Passo 2

Vamos assumir que a onda refletida tem forma geral de onda plana viajando no sentido negativo de x, isto é
y_r(x,t)=B\cos\bigl(\omega t + kx + \varphi_r\bigr).
A condição de contorno em x=x_{0} exige
y_i(x_{0},t)+y_r(x_{0},t)=0 \quad\Longrightarrow\quad A\cos\bigl(\omega t - kx_{0} + \varphi\bigr)+B\cos\bigl(\omega t + kx_{0} + \varphi_r\bigr)=0
para todo t.

Passo 3

Para que a soma de duas cossenos seja nula em todo t, é preciso que elas tenham mesma amplitude B=A e que o deslocamento de fase satisfaça
\bigl(\omega t - kx_{0} + \varphi\bigr)-\bigl(\omega t + kx_{0} + \varphi_r\bigr) = (2m+1)\pi,
onde m é inteiro. Cancelando \omega t e escolhendo m=0 obtém-se
-2k x_{0} + \varphi - \varphi_r = \pi \quad\Longrightarrow\quad \varphi_r = \varphi -2k x_{0} - \pi.

Passo 4

Substituindo B=A e \varphi_r em y_r, temos
y_r(x,t) = A\cos\bigl(\omega t + kx + \varphi -2k x_{0}-\pi\bigr) = -\,A\cos\bigl(\omega t + kx + \varphi -2k x_{0}\bigr).
Podemos reescrever agrupando x-2x_{0}:
y_r(x,t)=-A\cos\!\bigl(\omega t + k(x-2x_{0}) + \varphi\bigr).

Resposta

y_r(x,t)=-A\cos\bigl(\omega t + k(x-2x_{0}) + \varphi\bigr).

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