Considere os dados da questão anterior. Qual deve ser a distância entre um elétron e um próton para que a aceleração do elétron seja a mesma que a aceleração da gravidade na superfície terrestre? É preciso levar em conta a força gravitacional nesta conta? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede a distância r entre um elétron e um próton tal que a aceleração do elétron, gerada pela força elétrica de atração, seja igual à aceleração da gravidade na superfície da Terra g. Vamos usar a Lei de Coulomb e a Segunda Lei de Newton.

Passo 2

A força elétrica de atração entre cargas puntiformes é dada por
F_{\text{C}} = k\,\frac{e^2}{r^2}
e a Segunda Lei de Newton diz
F = m_e\,a.
Como queremos a = g, impomos
k\,\frac{e^2}{r^2} = m_e\,g.

Passo 3

Isolando r, obtemos
r^2 = \frac{k\,e^2}{m_e\,g} \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{\frac{k\,e^2}{m_e\,g}}.

Passo 4

Substituindo os valores
k = 8{,}99\times10^9\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2},\quad e = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C},
m_e = 9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},\quad g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2},
temos
r^2 = \frac{8{,}99\times10^9\,(1{,}602\times10^{-19})^2} {9{,}11\times10^{-31}\times9{,}8} \approx 25{,}85 \quad\Longrightarrow\quad r \approx \sqrt{25{,}85}\approx 5{,}1\\ \mathrm{m}.

Passo 5

A força gravitacional entre elétron e próton seria
F_g = G\,\frac{m_e\,m_p}{r^2},
mas comparando F_g com F_{\text{C}} nota-se que
\frac{F_g}{F_{\text{C}}}\sim10^{-42},
ou seja, a atração gravitacional é desprezível diante da força elétrica. Portanto, não precisamos incluí-la no cálculo.

Resposta

A distância deve ser aproximadamente 5{,}1\\ \mathrm{m}.
Não é preciso levar em conta a força gravitacional porque ela é cerca de 10^{42} vezes menor que a força elétrica entre elétron e próton.

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