Questão 92. Calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma
Informações dadas:
- A soma é sobre
de até . - O termo geral é
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o termo geral algebricamente (isso facilita somar depois). Desenvolvendo o quadrado e multiplicando por
:
Logo a soma fica
Passo 3
Vamos separar a soma em somas conhecidas:
As três somas que precisamos são:
-
(há termos). -
. Breve prova: emparelhando termos obtém-se pares que somam , daí o total (e incluindo não altera, pois soma de é 0). -
. Pequena prova por indução: para vale; assumindo para e somando obtém-se
logo vale para
, concluindo a indução.
Passo 4
Substituindo essas fórmulas na expressão:
Passo 5
Agora simplificamos passo a passo. Defina
. Então a expressão é
.
Calcule :
Calcule
Portanto
Colocando
em fator comum:
Para deixar sem frações, multiplica-se o fator interno por
:
Passo 6
Também podemos expandir totalmente para uma forma polinomial:
ou, escrevendo com denominador comum,