Questão 92. Calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma
Informações dadas e pedido:
- A soma é sobre
indo de até . - Cada termo é
. - Quer-se uma expressão fechada em função de
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o termo genérico para transformá-lo em somas conhecidas. Expandindo o produto:
Portanto a soma fica
Usando linearidade da soma (a soma de uma soma é soma das somas),
Passo 3
Agora vamos introduzir as fórmulas que vamos usar e explicar o que são.
- Soma dos primeiros inteiros:
Explicação curta e intuitiva: pares
somam sempre
, há
termos, então a soma total é
. Colocando o
não altera a fórmula porque acrescenta zero.
- Soma dos quadrados:
Breve justificativa por indução (esboço): para
dá
. Supondo a fórmula válida para
, ao passar para
somar
e manipular algebricamente dá exatamente a fórmula para
. Esta é a fórmula padrão para a soma dos quadrados dos primeiros inteiros.
- Soma da constante
:
pois há
termos.
Passo 4
Substituindo as três somas na expressão de
:
Vamos simplificar passo a passo. Primeiro simplificar coeficientes:
Para somar os termos, coloque tudo em denominar comum
:
Agora some os numeradores:
Fatorando
do numerador:
Calcule o polinômio dentro do parêntese:
então
Logo
Passo 5
Fatorando o quadrático
. Procuramos fatores inteiros que multipliquem para
e somem
. Uma fatoração conveniente é
Portanto
Passo 6
Conferência rápida com um exemplo numérico (só para ganhar confiança):
- Para
: termos são , , . Soma . - Pela fórmula:
. Confere.