Questão 92. Calcule:
\sum_{k=0}^{n}(k+1)(2 k+1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
S(n)=\sum_{k=0}^{n}(k+1)(2k+1).
Informações dadas e pedido:
  • A soma é sobre k indo de 0 até n.
  • Cada termo é (k+1)(2k+1).
  • Quer-se uma expressão fechada em função de n.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o termo genérico para transformá-lo em somas conhecidas. Expandindo o produto:
(k+1)(2k+1)=2k^2+3k+1.
Portanto a soma fica
S(n)=\sum_{k=0}^{n}(2k^2+3k+1).
Usando linearidade da soma (a soma de uma soma é soma das somas),
S(n)=2\sum_{k=0}^{n}k^2+3\sum_{k=0}^{n}k+\sum_{k=0}^{n}1.

Passo 3

Agora vamos introduzir as fórmulas que vamos usar e explicar o que são.
  1. Soma dos primeiros inteiros:
\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.
Explicação curta e intuitiva: pares 0+n,\,1+(n-1),\,2+(n-2),\dots somam sempre n, há n+1 termos, então a soma total é (n+1)\cdot n/2. Colocando o k=0 não altera a fórmula porque acrescenta zero.
  1. Soma dos quadrados:
\sum_{k=0}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Breve justificativa por indução (esboço): para n=0 0. Supondo a fórmula válida para n, ao passar para n+1 somar (n+1)^2 e manipular algebricamente dá exatamente a fórmula para n+1. Esta é a fórmula padrão para a soma dos quadrados dos primeiros inteiros.
  1. Soma da constante 1:
\sum_{k=0}^{n}1=n+1,
pois há n+1 termos.

Passo 4

Substituindo as três somas na expressão de S(n):
S(n)=2\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+3\cdot\frac{n(n+1)}{2}+(n+1).
Vamos simplificar passo a passo. Primeiro simplificar coeficientes:
2\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{3},
3\cdot\frac{n(n+1)}{2}=\frac{3n(n+1)}{2}.
Para somar os termos, coloque tudo em denominar comum 6:
\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{6},
\frac{3n(n+1)}{2}=\frac{9n(n+1)}{6},
n+1=\frac{6(n+1)}{6}.
Agora some os numeradores:
S(n)=\frac{2n(n+1)(2n+1)+9n(n+1)+6(n+1)}{6}.
Fatorando n+1 do numerador:
S(n)=\frac{(n+1)\bigl(2n(2n+1)+9n+6\bigr)}{6}.
Calcule o polinômio dentro do parêntese:
2n(2n+1)=4n^2+2n,
então
4n^2+2n+9n+6=4n^2+11n+6.
Logo
S(n)=\frac{(n+1)(4n^2+11n+6)}{6}.

Passo 5

Fatorando o quadrático 4n^2+11n+6. Procuramos fatores inteiros que multipliquem para 4\cdot6=24 e somem 11. Uma fatoração conveniente é
4n^2+11n+6=(4n+3)(n+2).
Portanto
S(n)=\frac{(n+1)(n+2)(4n+3)}{6}.

Passo 6

Conferência rápida com um exemplo numérico (só para ganhar confiança):
  • Para n=2: termos são k=0\to (0+1)(0+1)=1, k=1\to(2)(3)=6, k=2\to(3)(5)=15. Soma 1+6+15=22.
  • Pela fórmula: \dfrac{(2+1)(2+2)(4\cdot2+3)}{6}=\dfrac{3\cdot4\cdot11}{6}=\dfrac{132}{6}=22. Confere.

Resposta

\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)(4n+3)}{6}

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