Questão 92. Calcule:
\sum_{k=0}^{n}(k+1) C_{n}^{k}.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a soma
\sum_{k=0}^{n}(k+1)\binom{n}{k}.
Informações que temos do enunciado:
  • A soma é sobre k indo de 0 até n.
  • O termo geral é (k+1)\binom{n}{k}, ou seja, é a soma de dois tipos de termos: \binom{n}{k} e k\binom{n}{k}.
    A tarefa é encontrar um valor fechado em função de n.

Passo 2

Idéia básica: separar a soma em duas somas mais simples usando que (k+1)\binom{n}{k}=\binom{n}{k}+k\binom{n}{k}. Então
\sum_{k=0}^{n}(k+1)\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}+\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}.
Agora vamos calcular cada uma das duas somas à direita.

Passo 3

Calcular \displaystyle \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.
Lembrete (Teorema do binômio): para qualquer n inteiro não negativo e qualquer x,
(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}.
Tomando x=1 obtemos
(1+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot 1^{k},
ou seja
2^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.
Portanto a primeira soma vale 2^n.

Passo 4

Calcular \displaystyle \sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k} usando derivada do binômio.
Começamos novamente de
(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}.
Derivando ambos os lados em relação a x (explicando passo a passo):
  • A derivada do lado esquerdo é n(1+x)^{n-1} porque por regra da cadeia a derivada de (1+x)^n é n(1+x)^{n-1}.
  • A derivada do lado direito é \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} k x^{k-1} (derivando termo a termo: a derivada de x^{k} é k x^{k-1}).
    Assim obtemos
n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} k x^{k-1}.
Multiplicando ambos os lados por x para ter x^k no somatório:
n x(1+x)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} k x^{k}.
Agora substituímos x=1:
  • No lado esquerdo n\cdot 1\cdot(1+1)^{n-1}=n\cdot 2^{\,n-1}.
  • No lado direito obtemos \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} k \cdot 1^{k}=\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}.
    Portanto
\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}=n\,2^{\,n-1}.

Passo 5

Agora juntamos as duas somas calculadas nos passos anteriores:
\sum_{k=0}^{n}(k+1)\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}+\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}=2^{n}+n\,2^{\,n-1}.

Passo 6

Fatorando 2^{\,n-1} para simplificar:
2^{n}+n\,2^{\,n-1}=2^{\,n-1}\bigl(2+n\bigr)=\bigl(n+2\bigr)2^{\,n-1}.
Esse é o resultado final simplificado.

Passo 7

Verificação rápida com um exemplo pequeno para ganhar confiança (opcional, mas útil na prova):
  • Tome n=3. Os binomiais são \binom{3}{0}=1,\binom{3}{1}=3,\binom{3}{2}=3,\binom{3}{3}=1.
  • A soma direta é (0+1)\cdot1+(1+1)\cdot3+(2+1)\cdot3+(3+1)\cdot1=1+6+9+4=20.
  • A fórmula dá (n+2)2^{n-1}=(3+2)2^{2}=5\cdot4=20. Confere.

Resposta

\,(n+2)2^{\,n-1}

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