Questão 97. Resolva os problemas a seguir:
Encontre o termo independente de x no desenvolvimento de \left(x+\frac{1}{x}\right)^{14}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o termo independente de x (ou seja, o termo que não contém x) no desenvolvimento de \left(x+\frac{1}{x}\right)^{14}.
Informações dadas:
  • A expressão a desenvolver é \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{14}.
  • O expoente é 14.
  • Queremos o termo cujo fator em x seja x^{0} (o termo constante em x).

Passo 2

Lembrete importante (Binômio de Newton). Para qualquer números (ou expressões) a e b e inteiro n\ge0 vale:
(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k},
onde \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial. Aqui:
  • n é o expoente inteiro (aqui n=14);
  • k é o índice da soma que vai de 0 até n;
  • \binom{n}{k} é o coeficiente numérico que multiplica cada termo.
Vou aplicar essa fórmula com a=x e b=\dfrac{1}{x}.

Passo 3

Escrevendo o termo geral pelo binômio para o nosso caso:
T_k = \binom{14}{k}\, x^{\,14-k}\left(\frac{1}{x}\right)^{k}.
Simplificando as potências de x:
T_k = \binom{14}{k}\, x^{\,14-k-k} = \binom{14}{k}\, x^{\,14-2k}.
Aqui k varia de 0 a 14.

Passo 4

Queremos o termo independente de x, ou seja, o termo com expoente de x igual a 0. Então impomos:
14-2k = 0.
Resolvendo:
2k = 14 \quad\Rightarrow\quad k = 7.
Portanto o termo constante corresponde a k=7.

Passo 5

O coeficiente desse termo (o termo independente em x) é \binom{14}{7}. Vamos calcular \binom{14}{7} passo a passo sem calculadora:
\binom{14}{7}=\frac{14!}{7!\,7!}=\frac{14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora simplificar fator a fator (dividindo numerador e denominador por fatores comuns):
\begin{aligned} 14/7&=2,\\\\ 12/6&=2,\\\\ 10/5&=2,\\\\ 8/4&=2,\\\\ 9/3&=3. \end{aligned}
Após essas simplificações resta dividir por 2\cdot1=2 (no denominador); cancela-se esse 2 com uma das entradas 2 do numerador. Assim ficamos com o produto no numerador:
\binom{14}{7}=13\cdot11\cdot(2\cdot2\cdot2)\cdot3 = 13\cdot11\cdot8\cdot3.
Calcule por partes: 13\cdot11=143 e 8\cdot3=24. Então
\binom{14}{7}=143\cdot24.
Fazendo a multiplicação 143\cdot24 (por decomposição: 143\cdot20=2860, 143\cdot4=572, soma 2860+572):
\binom{14}{7}=3432.

Passo 6

Interpretação final didática: o único valor de k que produz potência x^{0} é k=7. Pelo binômio, o termo correspondente é \binom{14}{7}x^{0}, então o termo independente de x é \binom{14}{7}. Calculamos \binom{14}{7}=3432.

Resposta

3432

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