Questão 97. Resolva os problemas a seguir:
Encontre o termo independente de
no desenvolvimento de
.
Encontre o termo independente de
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o termo independente de
(ou seja, o termo que não contém
) no desenvolvimento de
.
Informações dadas:
- A expressão a desenvolver é
. - O expoente é
. - Queremos o termo cujo fator em
seja (o termo constante em ).
Passo 2
Lembrete importante (Binômio de Newton). Para qualquer números (ou expressões)
e
e inteiro
vale:
onde
é o coeficiente binomial. Aqui:
-
é o expoente inteiro (aqui ); -
é o índice da soma que vai de até ; -
é o coeficiente numérico que multiplica cada termo.
Vou aplicar essa fórmula com
e
.
Passo 3
Escrevendo o termo geral pelo binômio para o nosso caso:
Simplificando as potências de
:
Aqui
varia de
a
.
Passo 4
Queremos o termo independente de
, ou seja, o termo com expoente de
igual a
. Então impomos:
Resolvendo:
Portanto o termo constante corresponde a
.
Passo 5
O coeficiente desse termo (o termo independente em
) é
. Vamos calcular
passo a passo sem calculadora:
Agora simplificar fator a fator (dividindo numerador e denominador por fatores comuns):
Após essas simplificações resta dividir por
(no denominador); cancela-se esse
com uma das entradas
do numerador. Assim ficamos com o produto no numerador:
Calcule por partes:
e
. Então
Fazendo a multiplicação
(por decomposição:
,
, soma
):
Passo 6
Interpretação final didática: o único valor de
que produz potência
é
. Pelo binômio, o termo correspondente é
, então o termo independente de
é
. Calculamos
.