Questão 97. Resolva os problemas a seguir:
Qual o coeficiente de x^{6} no desenvolvimento de \left(x^{2}+x^{-1}\right)^{8} ?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual o coeficiente de x^{6} no desenvolvimento de \left(x^{2}+x^{-1}\right)^{8} ?”.
Informações dadas:
  • A expressão a desenvolver é \left(x^{2}+x^{-1}\right)^{8}.
  • Deve-se encontrar o coeficiente (número multiplicando) do termo cujo monômio é x^{6}.

Passo 2

Vamos usar o Teorema do Binômio (aquela fórmula clássica que diz como expandir (a+b)^n ). Apresentando a fórmula e explicando as peças:
(a+b)^n=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}a^{r}b^{n-r}.
Aqui:
  • n é o expoente total (no nosso caso n=8),
  • r é o número de vezes que escolhemos o primeiro termo a no produto,
  • \binom{n}{r} é o coeficiente binomial, que vale \displaystyle \binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!} e conta quantas maneiras diferentes de escolher r fatores a entre os n fatores totais.
    Essa fórmula dá todos os termos da expansão com seus coeficientes.

Passo 3

No nosso caso identificamos a=x^{2}, b=x^{-1} e n=8. Aplicando a fórmula:
um termo geral da expansão (quando escolhemos r vezes o a) é
\binom{8}{r}(x^{2})^{r}(x^{-1})^{8-r}.
Agora vamos simplificar a potência de x desse termo. O expoente de x é
2r + (-1)(8-r) = 2r -8 + r = 3r -8.
Ou seja, o termo correspondente a r tem a forma \binom{8}{r} x^{3r-8}.

Passo 4

Queremos o termo com x^{6}. Portanto devemos resolver para r a equação de expoentes
3r-8=6.
Vamos resolver passo a passo:
3r=6+8=14,
r=\frac{14}{3}.
Esse valor não é inteiro. Mas na soma da expansão r só pode ser um inteiro entre 0 e 8. Logo não existe nenhum r inteiro que produza o expoente 6.

Passo 5

Outro jeito de ver (intuição rápida): os expoentes possíveis na expansão formam a sequência 3r-8 para r=0,1,\dots,8. Isso dá, respectivamente,
-8,\\\ -5,\\\ -2,\\\ 1,\\\ 4,\\\ 7,\\\ 10,\\\ 13,\\\ 16,
ou seja, uma progressão aritmética com diferença 3. Note que 6 não aparece nessa lista, portanto não há termo x^{6}.

Passo 6

Conclusão lógica: como não existe índice inteiro r que gere o expoente 6, o coeficiente de x^{6} na expansão é zero.

Resposta

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