Questão 97. Resolva os problemas a seguir:
Qual o coeficiente de
no desenvolvimento de
?
Qual o coeficiente de
Passo 1
O enunciado pede: “Qual o coeficiente de
no desenvolvimento de
?”.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão a desenvolver é
. - Deve-se encontrar o coeficiente (número multiplicando) do termo cujo monômio é
.
Passo 2
Vamos usar o Teorema do Binômio (aquela fórmula clássica que diz como expandir
). Apresentando a fórmula e explicando as peças:
Aqui:
-
é o expoente total (no nosso caso ), -
é o número de vezes que escolhemos o primeiro termo no produto, -
é o coeficiente binomial, que vale e conta quantas maneiras diferentes de escolher fatores entre os fatores totais.
Essa fórmula dá todos os termos da expansão com seus coeficientes.
Passo 3
No nosso caso identificamos
,
e
. Aplicando a fórmula:
um termo geral da expansão (quando escolhemos vezes o
) é
um termo geral da expansão (quando escolhemos
Agora vamos simplificar a potência de
desse termo. O expoente de
é
Ou seja, o termo correspondente a
tem a forma
.
Passo 4
Queremos o termo com
. Portanto devemos resolver para
a equação de expoentes
Vamos resolver passo a passo:
Esse valor não é inteiro. Mas na soma da expansão
só pode ser um inteiro entre
e
. Logo não existe nenhum
inteiro que produza o expoente
.
Passo 5
Outro jeito de ver (intuição rápida): os expoentes possíveis na expansão formam a sequência
para
. Isso dá, respectivamente,
ou seja, uma progressão aritmética com diferença
. Note que
não aparece nessa lista, portanto não há termo
.
Passo 6
Conclusão lógica: como não existe índice inteiro
que gere o expoente
, o coeficiente de
na expansão é zero.