Questão 97. Resolva os problemas a seguir:
Se
e
tem a mesma quantidade de termos, então encontre o termo central de
.
Se
Passo 1
O enunciado dá duas expressões:
-
. -
.
O que pede: encontrar o termo central de
, sabendo que
e
têm a mesma quantidade de termos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expansão de
tem certo número de termos (a determinar). - A expansão de
tem termos em princípio (a confirmar). - Deve-se usar essa igualdade do número de termos para determinar
e, em seguida, achar o termo central de .
Passo 2
Entender quantos termos tem a expansão de um binômio: pela fórmula do binômio de Newton, a expansão de
tem exatamente
termos, porque os expoentes vão de
a
e os coeficientes binomiais
nunca são zero para
.
Aplicando isso a
: o expoente é
, portanto a expansão de
tem
termos.
Como
tem a mesma quantidade de termos, a expansão de
deve ter
termos, ou seja
Passo 3
Resolve para
:
Portanto
.
Agora achar o termo central de
. Vamos escrever a expansão geral pelo Teorema do Binômio. Uma forma conveniente é:
Aqui explicando cada símbolo:
-
é o coeficiente binomial, número combinatório. -
varia de a ; o termo com índice é . - O fator
produz a potência , então o termo com é exatamente esse.
Passo 4
Determinar qual é o termo central. Como
é par, o número total de termos
é ímpar, então existe um único termo central. Com índices
(13 termos), o termo central corresponde a
. Em outras palavras, o termo central é o que contém
.
Passo 5
Escrever o termo para
:
Calcular o sinal:
, então o sinal é positivo. Fica
Agora calcular os números:
- Primeiro
. Podemos calcular por fatoriais ou por simplificação:
- Depois
. Calculando passo a passo:
- Multiplicando os dois coeficientes:
Fazendo a multiplicação em partes:
Somando:
Portanto o coeficiente numérico é
, e o termo central é
Passo 6
Resumo final do raciocínio (curto e animador): igualamos o número de termos para achar
, usamos o teorema do binômio para identificar o termo central (índice
), e calculamos o coeficiente numérico explicitamente.