Questão 97. Resolva os problemas a seguir:
Se k=(x+1)^{12} e p=(3 x-1)^{n} tem a mesma quantidade de termos, então encontre o termo central de p.

Passo 1

O enunciado dá duas expressões:
  • k=(x+1)^{12}.
  • p=(3x-1)^{n}.
O que pede: encontrar o termo central de p, sabendo que k e p têm a mesma quantidade de termos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expansão de k=(x+1)^{12} tem certo número de termos (a determinar).
  • A expansão de p=(3x-1)^{n} tem n+1 termos em princípio (a confirmar).
  • Deve-se usar essa igualdade do número de termos para determinar n e, em seguida, achar o termo central de p.

Passo 2

Entender quantos termos tem a expansão de um binômio: pela fórmula do binômio de Newton, a expansão de (a+b)^{m} tem exatamente m+1 termos, porque os expoentes vão de 0 a m e os coeficientes binomiais \binom{m}{k} nunca são zero para 0\le k\le m.
Aplicando isso a k=(x+1)^{12}: o expoente é 12, portanto a expansão de k tem
12+1=13
termos.
Como p=(3x-1)^{n} tem a mesma quantidade de termos, a expansão de p deve ter 13 termos, ou seja
n+1=13.

Passo 3

Resolve para n:
n+1=13 \quad\Rightarrow\quad n=12.
Portanto p=(3x-1)^{12}.
Agora achar o termo central de p. Vamos escrever a expansão geral pelo Teorema do Binômio. Uma forma conveniente é:
(3x-1)^{12}=\sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k} (3x)^{k}(-1)^{12-k}.
Aqui explicando cada símbolo:
  • \binom{12}{k} é o coeficiente binomial, número combinatório.
  • k varia de 0 a 12; o termo com índice k é \binom{12}{k}(3x)^{k}(-1)^{12-k}.
  • O fator (3x)^{k} produz a potência x^{k}, então o termo com x^{k} é exatamente esse.

Passo 4

Determinar qual é o termo central. Como n=12 é par, o número total de termos n+1=13 é ímpar, então existe um único termo central. Com índices k=0,1,\dots,12 (13 termos), o termo central corresponde a k=\dfrac{12}{2}=6. Em outras palavras, o termo central é o que contém x^{6}.

Passo 5

Escrever o termo para k=6:
\text{termo central}=\binom{12}{6}(3x)^{6}(-1)^{12-6}.
Calcular o sinal: (-1)^{12-6}=(-1)^{6}=1, então o sinal é positivo. Fica
\text{termo central}=\binom{12}{6}\,3^{6}\,x^{6}.
Agora calcular os números:
  • Primeiro \binom{12}{6}. Podemos calcular por fatoriais ou por simplificação:
\binom{12}{6}=\frac{12!}{6!\,6!}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=924.
  • Depois 3^{6}. Calculando passo a passo:
3^{2}=9,\quad 3^{3}=27,\quad 3^{4}=81,\quad 3^{5}=243,\quad 3^{6}=729.
  • Multiplicando os dois coeficientes:
924\times729.
Fazendo a multiplicação em partes:
924\times700=646800,
924\times20=18480,
924\times9=8316.
Somando:
646800+18480+8316=673596.
Portanto o coeficiente numérico é 673596, e o termo central é
673596\,x^{6}.

Passo 6

Resumo final do raciocínio (curto e animador): igualamos o número de termos para achar n=12, usamos o teorema do binômio para identificar o termo central (índice k=6), e calculamos o coeficiente numérico explicitamente.

Resposta

\;673596\,x^{6}

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