Questão 2:

Abaixo estão os resultados de uma análise de peneiramento:
\mathbf{N}^{\mathbf{o}} da peneira/Abertura Massa retida (g)
4(4,75 \mathrm{~mm}) 0,0
10(2,00 \mathrm{~mm}) 21,6
20(0,850 \mathrm{~mm}) 49,5
40(0,425 \mathrm{~mm}) 102,6
60(0,250 \mathrm{~mm}) 89,1
100(0,150 \mathrm{~mm}) 95,6
200(0,075 \mathrm{~mm}) 60,4
Fundo 31,2
a) Faça os cálculos necessários e trace uma curva de distribuição granulométrica.
b) Determine \mathrm{D}_{10}, \mathrm{D}_{30} e \mathrm{D}_{60} da curva de distribuição granulométrica.
c) Calcule o coeficiente de uniformidade ( \mathrm{C}_{\mathrm{u}} ).
d) Calcule o coeficiente de curvatura ( \mathrm{C}_{\mathrm{c}} ).

Passo 1

O enunciado dá os resultados de uma análise de peneiramento (peguei estes números da tabela fornecida). Os dados são as massas retidas em cada peneira:
  • Peneira 4 ( 4{,}75\\ \text{mm}): massa retida =0{,}0\\ \text{g}.
  • Peneira 10 ( 2{,}00\\ \text{mm}): massa retida =21{,}6\\ \text{g}.
  • Peneira 20 ( 0{,}850\\ \text{mm}): massa retida =49{,}5\\ \text{g}.
  • Peneira 40 ( 0{,}425\\ \text{mm}): massa retida =102{,}6\\ \text{g}.
  • Peneira 60 ( 0{,}250\\ \text{mm}): massa retida =89{,}1\\ \text{g}.
  • Peneira 100 ( 0{,}150\\ \text{mm}): massa retida =95{,}6\\ \text{g}.
  • Peneira 200 ( 0{,}075\\ \text{mm}): massa retida =60{,}4\\ \text{g}.
  • Fundo (pan): massa retida =31{,}2\\ \text{g}.
O que é pedido:
a) Fazer os cálculos necessários e traçar a curva de distribuição granulométrica (isto é, obter os pontos \text{diâmetro}â versus \% passando).
b) Determinar \mathrm{D}_{10},\\ \mathrm{D}_{30},\\ \mathrm{D}_{60} (diâmetros correspondentes a 10\%, 30\% e 60\% passando).
c) Calcular o coeficiente de uniformidade \mathrm{C}_u.
d) Calcular o coeficiente de curvatura \mathrm{C}_c.

Passo 2

Primeiro cálculo importante: massa total da amostra (soma de todas as massas retidas). Vou somar todos os valores que peguei da tabela:
\text{massa total} = 0{,}0 + 21{,}6 + 49{,}5 + 102{,}6 + 89{,}1 + 95{,}6 + 60{,}4 + 31{,}2\\ \text{g}.
Faço a soma:
\text{massa total} = 450{,}0\\ \text{g}.

Passo 3

Agora calculo o retido acumulado (somando de cima para baixo: da maior abertura para a menor) e a percentagem retida acumulada. A fórmula que uso é:
\%\text{ retido acumulado} = \frac{\text{massa retida acumulada}}{\text{massa total}} \times 100\%.
Vou construir a tabela passo a passo (mostro a massa acumulada e a percentagem retida acumulada após cada peneira):
  • Após peneira 4 ( 4{,}75\\ \text{mm}): massa acumulada =0{,}0\\ \text{g}. \%\text{retido acumulado}= \frac{0{,}0}{450{,}0}\times100\%=0{,}0\%.
  • Após peneira 10 ( 2{,}00\\ \text{mm}): massa acumulada =21{,}6\\ \text{g}. \%\text{retido acumulado}= \frac{21{,}6}{450{,}0}\times100\%=4{,}8\%.
  • Após peneira 20 ( 0{,}850\\ \text{mm}): massa acumulada =21{,}6+49{,}5=71{,}1\\ \text{g}. \%\text{retido acumulado}= \frac{71{,}1}{450{,}0}\times100\%=15{,}8\%.
  • Após peneira 40 ( 0{,}425\\ \text{mm}): massa acumulada =71{,}1+102{,}6=173{,}7\\ \text{g}. \%\text{retido acumulado}= \frac{173{,}7}{450{,}0}\times100\%=38{,}6\%.
  • Após peneira 60 ( 0{,}250\\ \text{mm}): massa acumulada =173{,}7+89{,}1=262{,}8\\ \text{g}. \%\text{retido acumulado}= \frac{262{,}8}{450{,}0}\times100\%=58{,}4\%.
  • Após peneira 100 ( 0{,}150\\ \text{mm}): massa acumulada =262{,}8+95{,}6=358{,}4\\ \text{g}. \%\text{retido acumulado}= \frac{358{,}4}{450{,}0}\times100\%=79{,}644\%\\ (\approx79{,}6\%).
  • Após peneira 200 ( 0{,}075\\ \text{mm}): massa acumulada =358{,}4+60{,}4=418{,}8\\ \text{g}. \%\text{retido acumulado}= \frac{418{,}8}{450{,}0}\times100\%=93{,}067\%\\ (\approx93{,}1\%).
  • Após o fundo (pan): massa acumulada =418{,}8+31{,}2=450{,}0\\ \text{g}. \%\text{retido acumulado}= \frac{450{,}0}{450{,}0}\times100\%=100{,}0\%.

Passo 4

A percentagem passando em cada peneira (ou seja, percentagem que passa pela peneira correspondente) é:
\%\text{passando} = 100\% - \%\text{retido acumulado}.
Calculo para cada abertura (estes pares são os pontos que se usam para traçar a curva granulométrica; recomendo plotar \% passando no eixo vertical e diâmetro da peneira no eixo horizontal com escala logarítmica para diâmetro):
  • d=4{,}75\\ \text{mm}: \%\text{passando}=100{,}0\%.
  • d=2{,}00\\ \text{mm}: \%\text{passando}=100{,}0-4{,}8=95{,}2\%.
  • d=0{,}850\\ \text{mm}: \%\text{passando}=100{,}0-15{,}8=84{,}2\%.
  • d=0{,}425\\ \text{mm}: \%\text{passando}=100{,}0-38{,}6=61{,}4\%.
  • d=0{,}250\\ \text{mm}: \%\text{passando}=100{,}0-58{,}4=41{,}6\%.
  • d=0{,}150\\ \text{mm}: \%\text{passando}=100{,}0-79{,}644\approx20{,}356\%\\ (\approx20{,}36\%).
  • d=0{,}075\\ \text{mm}: \%\text{passando}=100{,}0-93{,}067\approx6{,}933\%\\ (\approx6{,}93\%).
  • Fundo (praticamente d\to0): \%\text{passando}=0{,}0\%.
Esses pontos produzem a curva granulométrica. Para traçar no papel ou em software: eixo x = d (mm) em escala logarítmica; eixo y = \% passando (linear, 0 a 100\%). Ligue os pontos por uma linha suave.

Passo 5

Agora precisamos encontrar \mathrm{D}_{10},\\ \mathrm{D}_{30},\\ \mathrm{D}_{60}. Esses são os diâmetros (em mm) para os quais a curva tem 10\%, 30\% e 60\% passando, respectivamente. A prática usual é interpolar no gráfico usando escala logarítmica na abscissa (log-linear interpolation): faz-se interpolação linear entre \log d e % passando. A fórmula de interpolação logarítmica entre dois pontos (d_1,P_1) e (d_2,P_2) para encontrar d correspondente a P é:
\log_{10} d = \log_{10} d_1 + \frac{P-P_1}{P_2-P_1}\left(\log_{10} d_2 - \log_{10} d_1\right).
Depois obtém-se d fazendo d=10^{\log_{10} d}.
Vou aplicar essa fórmula para cada percentil solicitado, escolhendo os dois pontos que cercam o percentil em questão.

Passo 6

Procuramos P=60\%. Na tabela temos:
  • em d_1=0{,}425\\ \text{mm} tem P_1=61{,}4\%.
  • em d_2=0{,}250\\ \text{mm} tem P_2=41{,}6\%.
Calculo os logaritmos (base 10):
\log_{10}(0{,}425)\approx -0{,}37161,\qquad \log_{10}(0{,}250)\approx -0{,}60206.
A fração na interpolação é
\frac{P-P_1}{P_2-P_1}=\frac{60-61{,}4}{41{,}6-61{,}4}=\frac{-1{,}4}{-19{,}8}\approx 0{,}07071.
Então
\log_{10} \mathrm{D}_{60} = -0{,}37161 + 0{,}07071\cdot(-0{,}60206 +0{,}37161) = -0{,}37161 + 0{,}07071\cdot(-0{,}23045)\approx -0{,}38790.
Portanto
\mathrm{D}_{60}=10^{-0{,}38790}\approx 0{,}409\\ \text{mm}.

Passo 7

Procuramos P=30\%. Na tabela:
  • d_1=0{,}250\\ \text{mm} com P_1=41{,}6\%.
  • d_2=0{,}150\\ \text{mm} com P_2\approx20{,}356\%.
Logaritmos:
\log_{10}(0{,}250)\approx -0{,}60206,\qquad \log_{10}(0{,}150)\approx -0{,}82391.
Fração:
\frac{30-41{,}6}{20{,}356-41{,}6}=\frac{-11{,}6}{-21{,}244}\approx 0{,}5462.
Interpolando:
\log_{10}\mathrm{D}_{30} = -0{,}60206 + 0{,}5462\cdot(-0{,}82391 +0{,}60206) = -0{,}60206 + 0{,}5462\cdot(-0{,}22185)\approx -0{,}72326.
Logo
\mathrm{D}_{30}=10^{-0{,}72326}\approx 0{,}190\\ \text{mm}.

Passo 8

Procuramos P=10\%. Na tabela:
  • d_1=0{,}150\\ \text{mm} com P_1\approx20{,}356\%.
  • d_2=0{,}075\\ \text{mm} com P_2\approx6{,}933\%.
Logaritmos:
\log_{10}(0{,}150)\approx -0{,}82391,\qquad \log_{10}(0{,}075)\approx -1{,}12494.
Fração:
\frac{10-20{,}356}{6{,}933-20{,}356}=\frac{-10{,}356}{-13{,}423}\approx 0{,}7715.
Interpolando:
\log_{10}\mathrm{D}_{10} = -0{,}82391 + 0{,}7715\cdot(-1{,}12494 +0{,}82391) = -0{,}82391 + 0{,}7715\cdot(-0{,}30103)\approx -1{,}05601.
Portanto
\mathrm{D}_{10}=10^{-1{,}05601}\approx 0{,}088\\ \text{mm}.

Passo 9

As fórmulas são:
\mathrm{C}_u = \frac{\mathrm{D}_{60}}{\mathrm{D}_{10}},\qquad \mathrm{C}_c = \frac{\mathrm{D}_{30}^2}{\mathrm{D}_{10}\cdot \mathrm{D}_{60}}.
Substituo os valores que encontrei:
\mathrm{D}_{60}\approx 0{,}409\\ \text{mm},\quad \mathrm{D}_{30}\approx 0{,}190\\ \text{mm},\quad \mathrm{D}_{10}\approx 0{,}088\\ \text{mm}.
Calculo \mathrm{C}_u:
\mathrm{C}_u = \frac{0{,}409}{0{,}088}\approx 4{,}65\\ (\text{aprox. }4{,}66).
Calculo \mathrm{C}_c:
\mathrm{C}_c = \frac{(0{,}190)^2}{0{,}088\cdot 0{,}409} = \frac{0{,}0361}{0{,}03599}\approx 1{,}00.
Interpretação curta (útil na prova): valores típicos de referência costumam dizer que se \mathrm{C}_u>4 (areia) ou >6 (cascalho) e 1<\mathrm{C}_c<3 então o material é bem graduado. Aqui \mathrm{C}_u\approx4{,}65 e \mathrm{C}_c\approx1{,}00, indicam um certo grau de variação de tamanhos (não muito uniforme), e \mathrm{C}_c praticamente 1 (limite inferior de bem graduado).

Resposta

a) Pontos para traçar a curva granulométrica (diâmetro d em mm e \% passando):
d=4{,}75\\ \text{mm} \Rightarrow 100{,}0\%
d=2{,}00\\ \text{mm} \Rightarrow 95{,}2\%
d=0{,}850\\ \text{mm} \Rightarrow 84{,}2\%
d=0{,}425\\ \text{mm} \Rightarrow 61{,}4\%
d=0{,}250\\ \text{mm} \Rightarrow 41{,}6\%
d=0{,}150\\ \text{mm} \Rightarrow 20{,}36\%
d=0{,}075\\ \text{mm} \Rightarrow 6{,}93\%
Fundo \Rightarrow 0{,}0\%.
b) \mathrm{D}_{10}\approx 0{,}088\\ \text{mm}
\mathrm{D}_{30}\approx 0{,}190\\ \text{mm}
\mathrm{D}_{60}\approx 0{,}409\\ \text{mm}
c) \mathrm{C}_u=\dfrac{\mathrm{D}_{60}}{\mathrm{D}_{10}}\approx 4{,}65 (aprox. 4{,}66)
d) \mathrm{C}_c=\dfrac{\mathrm{D}_{30}^2}{\mathrm{D}_{10}\,\mathrm{D}_{60}}\approx 1{,}00

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