Questão 5) Abra a derivada material na equação que segue e explique quais termos dominam o balanço nos seguintes casos:
\rho \frac{D u_{i}}{D t}-\rho g_{i}-\frac{\partial \tau_{i j}}{\partial x_{j}}=0
d) lago em repouso.

Passo 1

O enunciado dá a equação do momento por componente
\rho \frac{D u_{i}}{D t}-\rho g_{i}-\frac{\partial \tau_{i j}}{\partial x_{j}}=0
e pede que eu “abra a derivada material” e explique quais termos dominam o balanço no caso d) lago em repouso.
Informações / o que é pedido:
  • Expandir a derivada material \dfrac{D u_i}{D t}.
  • Reescrever a equação com essa expansão.
  • Para o caso específico “lago em repouso”, identificar quais termos são nulos/negligenciáveis e qual é o balanço dominante (ou seja, quais termos se equilibram).
  • Não foi dada nenhuma outra condição explícita; vou usar as hipóteses físicas óbvias de “lago em repouso” (velocidade nula/constante e superfície livre sujeita à pressão atmosférica).

Passo 2

Abrindo a derivada material: por definição, a derivada material (ou derivada substancial) combina a variação local no tempo com a variação advectiva pelo escoamento. Em notação indicial:
\frac{D u_i}{D t}=\frac{\partial u_i}{\partial t}+u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}.
Explicação física dos termos:
  • \dfrac{\partial u_i}{\partial t}: termo de aceleração local — a taxa de variação temporal da componente i da velocidade em um ponto fixo no espaço. Unidade: \mathrm{m/s^2}.
  • u_j\dfrac{\partial u_i}{\partial x_j}: termo convectivo (advecção) — representa como partículas que se deslocam trazem variações de velocidade (produto de velocidade por gradiente de velocidade). Ordens de grandeza típicas: \sim U^2/L, onde U é uma velocidade característica e L um comprimento característico.
Esses dois somados dão a aceleração total que uma partícula fluida sente enquanto se move.

Passo 3

Substituindo a expansão da derivada material na equação dada obtemos:
\rho\left(\frac{\partial u_i}{\partial t}+u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right)-\rho g_i-\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j}=0.
Agora, é útil separar o tensor de tensões \tau_{ij} em pressão isotrópica e parte desviatorizada (viscosa):
\tau_{ij}=-p\,\delta_{ij}+s_{ij},
onde
  • p é a pressão (positiva no sentido usual; o sinal aqui segue a decomposição escolhida),
  • \delta_{ij} é o delta de Kronecker,
  • s_{ij} é a tensão desviatorizada (por exemplo as tensões viscosas, que dependem de gradientes de velocidade).
A divergência fica
\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j}=-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial s_{ij}}{\partial x_j}.
Substituindo isto na equação do momento:
\rho\left(\frac{\partial u_i}{\partial t}+u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right)-\rho g_i+\frac{\partial p}{\partial x_i}-\frac{\partial s_{ij}}{\partial x_j}=0.

Passo 4

Agora imponho as hipóteses do caso: “lago em repouso”.
Hipóteses físicas claras para um lago em repouso (situação estacionária e sem escoamento):
  • velocidade nula em todo o volume: \;u_i=0\; para todo i.
  • com isso, os gradientes de velocidade são nulos: \dfrac{\partial u_i}{\partial x_j}=0.
  • e a velocidade não muda no tempo: \dfrac{\partial u_i}{\partial t}=0.
Consequências imediatas sobre os termos da equação:
  • aceleração local: \dfrac{\partial u_i}{\partial t}=0.
  • aceleração convectiva: u_j\dfrac{\partial u_i}{\partial x_j}=0.
    Logo toda a parcela inercial \rho\left(\dfrac{\partial u_i}{\partial t}+u_j\dfrac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) é zero.
Além disso, se não há escoamento nem gradientes de velocidade, as tensões viscosas são zero (ou muito pequenas): s_{ij}\approx 0 e, portanto, \dfrac{\partial s_{ij}}{\partial x_j}\approx 0.
Substituindo essas hipóteses na equação reduzo a relação a:
- \rho g_i + \frac{\partial p}{\partial x_i}=0,
ou reorganizando,
\frac{\partial p}{\partial x_i}=\rho g_i.

Passo 5

Interpretação e forma conhecida (equilíbrio hidrostático):
  • A equação \dfrac{\partial p}{\partial x_i}=\rho g_i diz que o gradiente de pressão equilibra a força de gravidade por unidade de volume.
  • Em coordenada vertical usual x_3=z com eixo z positivo para cima e \;g_i=-g\,\delta_{i3} (onde g>0), temos a forma familiar:
\frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g.
  • Integrando em z:
p(z)=p(z_0)-\rho g\,(z-z_0),
onde p(z_0) é a pressão num nível de referência z_0. No caso de superfície livre com pressão atmosférica p_{\text{atm}} num nível z=H, fica
p(z)=p_{\text{atm}}+\rho g (H-z).
Conclusão física: em um lago em repouso as forças inerciais (termos com derivadas materiais) são nulas e as tensões viscosas são desprezíveis; o balanço dominante é entre o gradiente de pressão e a gravidade — isto é, equilíbrio hidrostático.

Resposta

\dfrac{\partial p}{\partial x_i}=\rho g_i
\dfrac{\partial p}{\partial z}=-\rho g e, integrando, \;p(z)=p(z_0)-\rho g (z-z_0) (equilíbrio hidrostático).

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