Questão 5) Abra a derivada material na equação que segue e explique quais termos dominam o balanço nos seguintes casos:
d) lago em repouso.
Passo 1
O enunciado dá a equação do momento por componente
e pede que eu “abra a derivada material” e explique quais termos dominam o balanço no caso d) lago em repouso.
Informações / o que é pedido:
- Expandir a derivada material
. - Reescrever a equação com essa expansão.
- Para o caso específico “lago em repouso”, identificar quais termos são nulos/negligenciáveis e qual é o balanço dominante (ou seja, quais termos se equilibram).
- Não foi dada nenhuma outra condição explícita; vou usar as hipóteses físicas óbvias de “lago em repouso” (velocidade nula/constante e superfície livre sujeita à pressão atmosférica).
Passo 2
Abrindo a derivada material: por definição, a derivada material (ou derivada substancial) combina a variação local no tempo com a variação advectiva pelo escoamento. Em notação indicial:
Explicação física dos termos:
-
: termo de aceleração local — a taxa de variação temporal da componente da velocidade em um ponto fixo no espaço. Unidade: . -
: termo convectivo (advecção) — representa como partículas que se deslocam trazem variações de velocidade (produto de velocidade por gradiente de velocidade). Ordens de grandeza típicas: , onde é uma velocidade característica e um comprimento característico.
Esses dois somados dão a aceleração total que uma partícula fluida sente enquanto se move.
Passo 3
Substituindo a expansão da derivada material na equação dada obtemos:
Agora, é útil separar o tensor de tensões
em pressão isotrópica e parte desviatorizada (viscosa):
onde
-
é a pressão (positiva no sentido usual; o sinal aqui segue a decomposição escolhida), -
é o delta de Kronecker, -
é a tensão desviatorizada (por exemplo as tensões viscosas, que dependem de gradientes de velocidade).
A divergência fica
Substituindo isto na equação do momento:
Passo 4
Agora imponho as hipóteses do caso: “lago em repouso”.
Hipóteses físicas claras para um lago em repouso (situação estacionária e sem escoamento):
Hipóteses físicas claras para um lago em repouso (situação estacionária e sem escoamento):
- velocidade nula em todo o volume:
para todo . - com isso, os gradientes de velocidade são nulos:
. - e a velocidade não muda no tempo:
.
Consequências imediatas sobre os termos da equação:
- aceleração local:
. - aceleração convectiva:
.
Logo toda a parcela inercialé zero.
Além disso, se não há escoamento nem gradientes de velocidade, as tensões viscosas são zero (ou muito pequenas):
e, portanto,
.
Substituindo essas hipóteses na equação reduzo a relação a:
ou reorganizando,
Passo 5
Interpretação e forma conhecida (equilíbrio hidrostático):
- A equação
diz que o gradiente de pressão equilibra a força de gravidade por unidade de volume. - Em coordenada vertical usual
com eixo positivo para cima e (onde ), temos a forma familiar:
- Integrando em
:
onde
é a pressão num nível de referência
. No caso de superfície livre com pressão atmosférica
num nível
, fica
Conclusão física: em um lago em repouso as forças inerciais (termos com derivadas materiais) são nulas e as tensões viscosas são desprezíveis; o balanço dominante é entre o gradiente de pressão e a gravidade — isto é, equilíbrio hidrostático.