Questão 5) Abra a derivada material na equação que segue e explique quais termos dominam o balanço nos seguintes casos:
b) corrente de
forçadas pelo vento de
;
Passo 1
O enunciado dá a equação de momento (com derivada material) e pede que eu abra a derivada material e explique quais termos dominam o balanço para o caso descrito.
Dados explícitos (pegos do enunciado):
- Equação dada:
- Caso pedido: corrente forçada pelo vento com velocidade da corrente
e vento de . Em notação consistente:
O que é pedido:
- Abrir a derivada material na equação (ou seja, escrever explicitamente os termos).
- Explicar, por análise de ordem de grandeza, quais termos dominam o balanço nessa situação (dar a conclusão física: quais termos podem ser considerados maiores/mais importantes).
Passo 2
Abrir a derivada material e escrever a equação expandida.
A derivada material (ou derivada convectiva) de uma componente da velocidade
é a aceleração local (variação temporal no ponto fixo) e
é a aceleração convectiva (advectiva) causada pelo transporte da velocidade pelo escoamento.
Substituindo na equação dada:
Reescrevendo para ficar bem explícito:
Explicação física rápida de cada termo:
-
: aceleração local por unidade de volume (muda no tempo no mesmo ponto). -
: aceleração advectiva (inércia não-linear), por unidade de volume. -
: força volumétrica da gravidade (direção vertical normalmente). -
: divergência do tensor de tensões, que representa forças por unidade de volume devidas a gradientes de pressão e tensões viscosas/turbulentas (ou seja, gradiente de pressão + atrito molecular/turbulento).)
Passo 3
Preparar método para comparar termos: análise de ordem de grandeza (scaling).
Estratégia: estimar magnitudes típicas de cada termo usando escalas características:
- velocidade característica do escoamento:
. - velocidade do vento:
. - densidade da água:
. - densidade do ar:
. - coeficiente de arrasto típico:
(ordem de para vento sobre água). - profundidade da camada misturada (escala vertical relevante):
— vou tomar um valor representativo (camada de mistura superficial típica; logo explico sensibilidade a ). - comprimento horizontal característico do fenômeno (escala horizontal):
. Vou mostrar dependência dos resultados com porque o balanço pode mudar com a escala; usarei exemplos típicos (1 km), (10 km), (100 km). - estimativa da tensão de vento (força por unidade área) aplicada à superfície:
Com números:
(valor típico de
).
Agora escalas dos termos (força por unidade volume, N m^{-3}):
- Aceleração advectiva / inércia (ordem de magnitude):
Motivação:
, multiplicado por
dá força por volume.
- Força por tensões (divergência de tensões) produzida pelo vento que atua numa camada de espessura
:
Motivação: tensão
atuando na superfície distribuída sobre profundidade
gera uma força volumétrica proporcional a
.
-
Aceleração local
: se o regime é aproximadamente estacionário (o escoamento já respondeu ao vento), esse termo é pequeno; sua ordem de grandeza seria com tempo de variação. Vou considerar regime quase-estacionário, então será pequeno comparado a inércia advectiva (explicito depois). -
Gravidade (componente vertical):
tem magnitude . Muito grande se comparado à aceleração vertical típica — isso leva à hipótese de equilíbrio hidrostático vertical (explico em detalhe).
Passo 4
Calcular números: inércia versus força do vento (comparação direta).
Primeiro calculemos a tensão de vento:
Força do vento por volume (distribuída sobre profundidade
):
Inércia por volume:
onde
em metros. Agora avalio para vários
:
- Para
(1 km):
Comparação com
: inércia
é ≈ 20 vezes maior que a força do vento por volume.
- Para
(10 km):
Comparação:
versus
— inércia ≈ 2 vezes maior (mesma ordem de grandeza).
- Para
(100 km):
Agora inércia é ≈ 0{,}0025, significativamente menor que
.
Interpretação: a razão entre inércia e forçamento do vento é
Substituindo
:
o que mostra clara dependência de
e de
. Com os números dados, para
da ordem de
a inércia e o forçamento por tensão de vento têm ordens de grandeza comparáveis; para escalas horizontais menores (km) a inércia domina; para escalas maiores (100 km) o forçamento por tensão domina.
Passo 5
Análise da componente vertical (i =
) — por que o balanço é hidrostático.
Calcule ordem de grandeza da aceleração vertical comparada à gravidade:
- escala de aceleração vertical típica:
.
Come :
Comparar com
:
. Multiplicando por
daria a força por volume associada à aceleração vertical, muito menor que
.
Conclusão: na direção vertical o termo
é muito maior que
, portanto o balanço vertical é aproximadamente hidrostático:
(onde a divergência de tensões vertical e pequenas acelerações ajustam o pequeno desvio da hidrostaticidade).
Passo 6
Síntese física e conclusão específica para o caso dado (corrente
forçada por vento
).
-
Vertical (componente
): dominância clara de e do gradiente de pressão (hidrostática). Acelerações verticais são negligenciáveis. Portanto o balanço vertical principal é entre gradiente de pressão e gravidade (equilíbrio hidrostático). -
Horizontal (componentes
): - O termo
é zero para horizontais (gravidade atua verticalmente), então os competidores principais são: - inércia (advectiva/convectiva)
e possivelmente aceleração local se transiente; - divergência de tensões
, que aqui inclui o efeito do vento (tensão na superfície transmissível por tensões turbulentas/viscosas).
- inércia (advectiva/convectiva)
- Resultado da análise de ordens de grandeza: para uma camada mista de
e para comprimentos horizontais maiores que algumas dezenas de km, a força do vento (dividida por ) pode vencer a inércia; para da ordem de a inércia e a força do vento têm ordens de grandeza comparáveis; para da ordem de a inércia domina a força do vento. Assim, o balanço dominante depende da escala horizontal: - escala pequena (km): inércia domina e o termo
é o principal (completado por menor), - escala intermediária (
): inércia e são comparáveis, - escala grande (100 km): a divergência de tensões (forçamento do vento distribuído na camada) domina sobre a inércia horizontal.
- escala pequena (km): inércia domina e o termo
- O termo
-
Observação prática (contexto físico): em oceanografia costuma entrar também a força de Coriolis, e em muitos casos de vento persistente a curva de balanço horizontal é entre
e o termo de Coriolis (resultando em circulação de Ekman). Como a equação dada não inclui Coriolis, nas interpretações acima isso não foi considerado; se o termo de Coriolis fosse incluído ele frequentemente seria o principal concorrente da divergência de tensões em escalas oceânicas maiores (10–100 km).
Passo 7
Resumo didático final — como usar isso na prova (passo a passo rápido quando encontrar a equação):
- Abra a derivada material:
- Identifique componente vertical ou horizontal:
- vertical: compare
com . Se conclua hidrostaticidade; - horizontal: compare
(inércia) com (forçamento do vento por unidade de volume).
- vertical: compare
- Use estimativas numéricas rápidas (como eu mostrei) para decidir qual termo é maior. Se inércia ≫
então advective dominates; se ≫ inércia então o forçamento por tensões (efeito do vento / atrito) domina; se mesmas ordens, ambos importam. - Lembre-se de verificar se outros termos (Coriolis, pressão horizontal) ausentes da equação dada são relevantes no problema; se sim, inclua-os na comparação.
Resposta
Vertical: balanço hidrostático (gravidade
e gradiente de pressão dominam; acelerações verticais negligenciáveis).
Horizontal: depende da escala horizontal . Com
,
e
:
Horizontal: depende da escala horizontal
- para
: inércia ( ) domina sobre ; - para
: inércia e divergência de tensões ( , i.e. efeito do vento) são da mesma ordem; - para
: divergência de tensões (forçamento do vento) domina sobre a inércia.