Questão 5) Abra a derivada material na equação que segue e explique quais termos dominam o balanço nos seguintes casos:
\rho \frac{D u_{i}}{D t}-\rho g_{i}-\frac{\partial \tau_{i j}}{\partial x_{j}}=0
b) corrente de 50 \mathrm{~cm} \mathrm{~s}^{-1} forçadas pelo vento de 10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1};

Passo 1

O enunciado dá a equação de momento (com derivada material) e pede que eu abra a derivada material e explique quais termos dominam o balanço para o caso descrito.
Dados explícitos (pegos do enunciado):
  • Equação dada:
\rho \frac{D u_{i}}{D t}-\rho g_{i}-\frac{\partial \tau_{i j}}{\partial x_{j}}=0 .
  • Caso pedido: corrente forçada pelo vento com velocidade da corrente 50\\ \mathrm{cm\\ s^{-1}} e vento de 10\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}. Em notação consistente:
U = 50\\ \mathrm{cm\\ s^{-1}} = 0{,}5\\ \mathrm{m\\ s^{-1}},\qquad U_{\text{wind}} = 10\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
O que é pedido:
  • Abrir a derivada material na equação (ou seja, escrever explicitamente os termos).
  • Explicar, por análise de ordem de grandeza, quais termos dominam o balanço nessa situação (dar a conclusão física: quais termos podem ser considerados maiores/mais importantes).

Passo 2

Abrir a derivada material e escrever a equação expandida.
A derivada material (ou derivada convectiva) de uma componente da velocidade \,u_i\,$ é definida por \[\frac{D u_i}{D t} = \frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j}.\] Aqui \(\partial_t u_i é a aceleração local (variação temporal no ponto fixo) e u_j\partial_{x_j}u_i é a aceleração convectiva (advectiva) causada pelo transporte da velocidade pelo escoamento.
Substituindo na equação dada:
\rho\left(\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) - \rho g_i - \frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j} = 0.
Reescrevendo para ficar bem explícito:
\rho\frac{\partial u_i}{\partial t} +\rho u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j} -\rho g_i -\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j} =0.
Explicação física rápida de cada termo:
  • \rho\partial_t u_i: aceleração local por unidade de volume (muda no tempo no mesmo ponto).
  • \rho u_j\partial_{x_j}u_i: aceleração advectiva (inércia não-linear), por unidade de volume.
  • -\rho g_i: força volumétrica da gravidade (direção vertical normalmente).
  • -\partial_j \tau_{ij}: divergência do tensor de tensões, que representa forças por unidade de volume devidas a gradientes de pressão e tensões viscosas/turbulentas (ou seja, gradiente de pressão + atrito molecular/turbulento).)

Passo 3

Preparar método para comparar termos: análise de ordem de grandeza (scaling).
Estratégia: estimar magnitudes típicas de cada termo usando escalas características:
  • velocidade característica do escoamento: \,U=0{,}5\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
  • velocidade do vento: \,U_{\text{wind}}=10\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
  • densidade da água: \rho \approx 1000\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}.
  • densidade do ar: \rho_{\text{air}}\approx1{,}2\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}.
  • coeficiente de arrasto típico: C_d\sim 10^{-3} (ordem de 10^{-3} para vento sobre água).
  • profundidade da camada misturada (escala vertical relevante): H — vou tomar um valor representativo H=10\\ \mathrm{m} (camada de mistura superficial típica; logo explico sensibilidade a H).
  • comprimento horizontal característico do fenômeno (escala horizontal): L. Vou mostrar dependência dos resultados com L porque o balanço pode mudar com a escala; usarei exemplos típicos L=10^{3}\\ \mathrm{m} (1 km), L=10^{4}\\ \mathrm{m} (10 km), L=10^{5}\\ \mathrm{m} (100 km).
  • estimativa da tensão de vento (força por unidade área) aplicada à superfície:
\tau_w \approx \rho_{\text{air}}\,C_d\,U_{\text{wind}}^2.
Com números: \tau_w \approx 1{,}2\times10^{-3}\times(10)^2 \approx 0{,}12\\ \mathrm{N\\ m^{-2}} (valor típico de \sim0{,}1\\ \mathrm{N\\ m^{-2}}).
Agora escalas dos termos (força por unidade volume, N m^{-3}):
  • Aceleração advectiva / inércia (ordem de magnitude):
\text{Inércia}\sim \rho \frac{U^2}{L}.é
Motivação: u_j\partial_j u_i\sim U^2/L, multiplicado por \rho dá força por volume.
  • Força por tensões (divergência de tensões) produzida pelo vento que atua numa camada de espessura H:
\text{Força do vento (por volume)}\sim \frac{\tau_w}{H}.ç
Motivação: tensão \tau_w atuando na superfície distribuída sobre profundidade H gera uma força volumétrica proporcional a \tau_w/H.
  • Aceleração local \rho\partial_t u_i: se o regime é aproximadamente estacionário (o escoamento já respondeu ao vento), esse termo é pequeno; sua ordem de grandeza seria \rho U/T com T tempo de variação. Vou considerar regime quase-estacionário, então \partial_t será pequeno comparado a inércia advectiva (explicito depois).
  • Gravidade (componente vertical): \rho g tem magnitude \rho g \approx 1000\times9{,}8\approx9{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{N\\ m^{-3}}. Muito grande se comparado à aceleração vertical típica \rho U^2/H — isso leva à hipótese de equilíbrio hidrostático vertical (explico em detalhe).

Passo 4

Calcular números: inércia versus força do vento (comparação direta).
Primeiro calculemos a tensão de vento:
\tau_w \approx \rho_{\text{air}} C_d U_{\text{wind}}^2 \approx 1{,}2\times 10^{-3}\times 10^2 = 0{,}12\\ \mathrm{N\\ m^{-2}}.
Força do vento por volume (distribuída sobre profundidade H=10\\ \mathrm{m}):
\frac{\tau_w}{H} \approx \frac{0{,}12}{10} = 0{,}012\\ \mathrm{N\\ m^{-3}}.
Inércia por volume:
\rho\frac{U^2}{L} = 1000\frac{(0{,}5)^2}{L} = 1000\frac{0{,}25}{L}=\frac{250}{L}\\ \mathrm{N\\ m^{-3}},
onde L em metros. Agora avalio para vários L:
  • Para L=10^{3}\\ \mathrm{m} (1 km):
\rho\frac{U^2}{L}=\frac{250}{10^{3}}=0{,}25\\ \mathrm{N\\ m^{-3}}.
Comparação com \tau_w/H=0{,}012: inércia \sim0{,}25 é ≈ 20 vezes maior que a força do vento por volume.
  • Para L=10^{4}\\ \mathrm{m} (10 km):
\rho\frac{U^2}{L}=\frac{250}{10^{4}}=0{,}025\\ \mathrm{N\\ m^{-3}}.
Comparação: 0{,}025 versus 0{,}012 — inércia ≈ 2 vezes maior (mesma ordem de grandeza).
  • Para L=10^{5}\\ \mathrm{m} (100 km):
\rho\frac{U^2}{L}=\frac{250}{10^{5}}=0{,}0025\\ \mathrm{N\\ m^{-3}}.
Agora inércia é ≈ 0{,}0025, significativamente menor que \tau_w/H\approx0{,}012.
Interpretação: a razão entre inércia e forçamento do vento é
\frac{\rho U^2 / L}{\tau_w / H} = \frac{\rho U^2 H}{\tau_w L}.
Substituindo \tau_w\approx\rho_{\text{air}} C_d U_{\text{wind}}^2:
\frac{\rho U^2 / L}{\tau_w / H} \approx \frac{\rho H}{\rho_{\text{air}} C_d L}\left(\frac{U}{U_{\text{wind}}}\right)^2,
o que mostra clara dependência de L e de (U/U_{\text{wind}})^2. Com os números dados, para L da ordem de 10\\ \mathrm{km} a inércia e o forçamento por tensão de vento têm ordens de grandeza comparáveis; para escalas horizontais menores (km) a inércia domina; para escalas maiores (100 km) o forçamento por tensão domina.

Passo 5

Análise da componente vertical (i = z) — por que o balanço é hidrostático.
Calcule ordem de grandeza da aceleração vertical comparada à gravidade:
  • escala de aceleração vertical típica: U^2/H.
    Com U=0{,}5\\ \mathrm{m\\ s^{-1}} e H=10\\ \mathrm{m}:
\frac{U^2}{H} = \frac{0{,}25}{10}=0{,}025\\ \mathrm{m\\ s^{-2}}.
Comparar com g\approx9{,}8\\ \mathrm{m\\ s^{-2}}: 0{,}025\ll 9{,}8. Multiplicando por \rho daria a força por volume associada à aceleração vertical, muito menor que \rho g.
Conclusão: na direção vertical o termo -\rho g_z é muito maior que \rho (D u_z/Dt), portanto o balanço vertical é aproximadamente hidrostático:
\frac{\partial p}{\partial z} \approx -\rho g.
(onde a divergência de tensões vertical e pequenas acelerações ajustam o pequeno desvio da hidrostaticidade).

Passo 6

Síntese física e conclusão específica para o caso dado (corrente 0{,}5\\ \mathrm{m\\ s^{-1}} forçada por vento 10\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}).
  • Vertical (componente i=z): dominância clara de \rho g_z e do gradiente de pressão (hidrostática). Acelerações verticais são negligenciáveis. Portanto o balanço vertical principal é entre gradiente de pressão e gravidade (equilíbrio hidrostático).
  • Horizontal (componentes i=x,y):
    • O termo -\rho g_i é zero para horizontais (gravidade atua verticalmente), então os competidores principais são:
      • inércia (advectiva/convectiva) \rho u_j\partial_j u_i e possivelmente aceleração local \rho\partial_t u_i se transiente;
      • divergência de tensões \partial_j \tau_{ij}, que aqui inclui o efeito do vento (tensão na superfície transmissível por tensões turbulentas/viscosas).
    • Resultado da análise de ordens de grandeza: para uma camada mista de H\sim10\\ \mathrm{m} e para comprimentos horizontais L maiores que algumas dezenas de km, a força do vento (dividida por H) pode vencer a inércia; para L da ordem de 10\\ \mathrm{km} a inércia e a força do vento têm ordens de grandeza comparáveis; para L da ordem de 1\\ \mathrm{km} a inércia domina a força do vento. Assim, o balanço dominante depende da escala horizontal:
      • escala pequena (km): inércia domina e o termo \rho u_j\partial_j u_i é o principal (completado por -\partial_j\tau_{ij} menor),
      • escala intermediária ( \sim 10\\ \mathrm{km}): inércia e -\partial_j\tau_{ij} são comparáveis,
      • escala grande (100 km): a divergência de tensões (forçamento do vento distribuído na camada) domina sobre a inércia horizontal.
  • Observação prática (contexto físico): em oceanografia costuma entrar também a força de Coriolis, e em muitos casos de vento persistente a curva de balanço horizontal é entre -\partial_j\tau_{ij} e o termo de Coriolis (resultando em circulação de Ekman). Como a equação dada não inclui Coriolis, nas interpretações acima isso não foi considerado; se o termo de Coriolis fosse incluído ele frequentemente seria o principal concorrente da divergência de tensões em escalas oceânicas maiores (10–100 km).

Passo 7

Resumo didático final — como usar isso na prova (passo a passo rápido quando encontrar a equação):
  1. Abra a derivada material:
\frac{D u_i}{D t}=\frac{\partial u_i}{\partial t}+u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}.
  1. Identifique componente vertical ou horizontal:
    • vertical: compare \rho U^2/H com \rho g. Se \rho U^2/H \ll \rho g conclua hidrostaticidade;
    • horizontal: compare \rho U^2/L (inércia) com \tau_w/H (forçamento do vento por unidade de volume).
  2. Use estimativas numéricas rápidas (como eu mostrei) para decidir qual termo é maior. Se inércia ≫ \tau_w/H então advective dominates; se \tau_w/H ≫ inércia então o forçamento por tensões (efeito do vento / atrito) domina; se \sim mesmas ordens, ambos importam.
  3. Lembre-se de verificar se outros termos (Coriolis, pressão horizontal) ausentes da equação dada são relevantes no problema; se sim, inclua-os na comparação.

Resposta

Vertical: balanço hidrostático (gravidade \rho g e gradiente de pressão dominam; acelerações verticais negligenciáveis).
Horizontal: depende da escala horizontal L. Com U=0{,}5\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}, U_{\text{wind}}=10\\ \mathrm{m\\ s^{-1}} e H\sim10\\ \mathrm{m}:
  • para L\sim1\\ \mathrm{km}: inércia ( \rho u_j\partial_j u_i) domina sobre \tau_w/H;
  • para L\sim10\\ \mathrm{km}: inércia e divergência de tensões ( -\partial_j\tau_{ij}, i.e. efeito do vento) são da mesma ordem;
  • para L\sim100\\ \mathrm{km}: divergência de tensões (forçamento do vento) domina sobre a inércia.

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